Khan公開課 – 統計學學習筆記：（十）Chi-square分布

χ2分布

隨機變數X是獨立的標準常態分佈變數，X～N（0，1），即E(X)=0, Var(X)=1。

Q1=X12，Q1是一個Chi-Square分布，記為，degree of freedom is 1

Q2=X12+ X22，Q2是一個Chi-Square分布，記為 ，degree of freedom is 2

以此類推。圖為Chi-Square的分布圖。有χ table可供查詢，例如P(Q2>2.41) = 0.3

皮爾遜χ2分布檢驗：Pearson’s chi-squared test

實際觀察次數O與某理論次數(E又稱期望次數)之差的平方再除以理論次數乃是一個與抽樣分布之一的χ2分布非常近似的次數分布。

而自由度則是不相干事件得數目。

如同n足夠大是，二項分布和常態分佈非常吻合一樣，這裡也不做理解證明，由法國數學家Pearson給出，就當給了個工具，我們相信工具有效，來使用工具，常用於檢查出現頻率。

例子1：一維χ2檢驗

已知從周一到周六，顧客的分布比例為10%、10%、15%、20%、30%、15%，而觀察值顧客數為30、14、34、45、57、20，問在significance level α=5%下，這個比例是否正確。

H0：比例正確；H1：比例不正確

自由度是多少，有6個參數，但是自由度是n-1=5，因為只要知道5個，第6個參數是可以計算出來的。查χ表，自由度5的行，α=5%時，χc2=11.07，根據實際觀察計算的值比所查值更為極端，所有拒絕給出分布比例H0

例子2：二維列聯表χ2檢驗

檢驗可能是二維表的方式，例如顧客中又分了男女，由於最後一行和最後一列都可以由其他資訊獲得，不是獨立變數，自由度為(m-1)(n-1)。列聯表也成為contingency table。下面例子是某個發病季節檢驗草藥在significance level α=10%是否有效。

根據上面的情況我們進行資訊補充：

H0：Herb do nothing; H1: Herbs do something

2行3列，自由度為（2-1）（3-1）=2，查chi table，α=5%時χc2=4.5，所有我們不能拒絕H0，即不能認為草藥有作用。

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