Khan公開課 – 統計學學習筆記：（三）隨機變數、機率密度、二項分布、期望值

隨機變數 Random Variable

隨機變數和一般資料上的變數不一樣，通常用大寫字母表示，如X、Y、Z，不是個參數而是function，即函數。例如，下面表示明天是否下雨的隨機變數X，如下。又例如X=每小時經過路口的車輛，隨機變數是個描述，而不是方程中的變數。

隨機變數有兩種，一種是離散的（discrete），一種是連續的（continue）。離散的如上面例子是可以枚舉，而連續的隨機變數的取值是infinite的。

機率密度函數

機率probability，以roll dice為例，P(X=6)=1/6，P(X>=5)=1/3，即6點的骰子機率為1/6，大於等於5點的骰子機率為1/3。這是離散的機率例子。

對於連續的，例如明天雨量。使用的是probability density function，是個分布例子。

P(X=2)是多少，0.5嗎？不對。精確雨量要2.00000……，機率為0。對於連續隨機變數，機率的統計是一個範圍，例如P(|X-2|<0.3)，相當於計算area。以f(x)表示隨機variable，則為

二項分布

二項分布binomial distribution，有個更熟悉的名字normal distribution常態分佈。隨機變數處於兩種狀態，例如硬幣的正面或反面，投籃投中或者miss。如果是公平隨機，例如拋硬幣，每個狀態出現的幾率是0.5。對於投籃，可能是P（shoot）=0.7，P（miss）=0.3。

如何計算P（X=n），n為出現某種狀態的次數。假設一共投籃N次籃（N=6），有多少種可能組合，例如出現2次命中的組合。簡單說我們有A、B兩個字母，填入6個空格，可以有多少種組合。為6×5，如果有A、B、C三個字母，則有6×5×4，即N！/（N-n）！

由於在計算機率中，A和B的先後順序沒有影響，即無先後順序，則還要除以n！（A、B或A、B、C本身的排列組合），在組合中表述為：

我們得到了組合次數，每個組合出現的機率是多少？投6中2為P(shoot)p(shoot)p(miss)p(miss)p(miss)p(miss)，將每個位置出現的機率乘前來就可以，即p^n×（1-p)^(N-n)，總的機率為：

其實倒不需要去死記硬背，只要知曉計算原理，很容易推導。

這些機率非常適合在Excel中進行計算和畫圖。在Excel有個小技巧我一直不會，如果固定選某個單元，選擇後用F4，在copy這個公式的時候，就不會飄移位置。

期望值E(X)

期望值Exptected value of a random varaible，實際就是population mean，有些時候總本是infinite，例如無數次仍投硬幣的結果，可通過頻率×數值求和獲得。

二項分布的E(X)

如果是二項分布，n表示次數，則E(X)=np，這個推導過程很有趣

二項分布的variance（方差）

和期望值一樣，這屬於頭腦體操，其基本方式亦也差不多。將證明方差為np(1-p)。這部分不是Khan公開課，講常態分佈時涉及二項式方差的計算公式，興緻來了，玩一下。

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