KMP演算法 - 求最小覆蓋子串

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KMP與最小覆蓋子串

最小覆蓋子串：對於某個字串s，它的最小覆蓋子串指的是長度最小的子串p，p滿足通過自身的多次串連得到q，最後能夠使s成為q的子串。

比如：

對於s="abcab"，它的最小覆蓋子串p="abc"，因為p通過在它後面再接上一個p（即重疊0個字元），可以得到q="abcabc"，此時s是q的子串。

對於s="ababab"，它的最小覆蓋子串為p="ab"。

根據KMP演算法的next數組的定義，設字串s的長度為n，則next[n] = next[n - 1]，n-1為s的最後一位。

next[n]表明s[0,1,2,...,next[n]-1] == s[n-next[n],...,n-1]，設這兩段分別為s1和s2。

若s1和s2的長度之和小於s的長度，則說明s1和s2分別為不重疊的首碼和尾碼，則最小覆蓋子串必為s截去s2之後得到的首碼。

若s1和s2的長度之和大於等於s的長度，則最小覆蓋子串也必為s截去s2之後得到的首碼。

以上兩種情況都可以推出這個結論：最小覆蓋子串是s的首碼，它的長度為n-next[n]。

 

         我對KMP的一些理解（lyp點撥的）：pre[i]（或next[i]）的實質是串str[1..i]的最長且小於i的“相等前、尾碼”分別為str[1..pre[i]]（首碼）與str[(i-pre[i]+1)..i]（尾碼），通俗講就是：使str[1..i]前k個字母與後k個字母相等的最大k值。

KMP演算法詳解可見：http://blog.csdn.net/fjsd155/article/details/6864233

另外一個結論：

最小覆蓋子串（串尾多一小段時，用首碼覆蓋）長度為n-next[n]（n-pre[n]），n為串長。

證明分兩部分：

１－長為n-next[n]的首碼必為覆蓋子串。

當next[n]<n-next[n]時，a，長為next[n]的首碼A與長為next[n]的尾碼B相等，故長為n-next[n]的首碼C必覆蓋尾碼B；

當next[n]>n-next[n]時，b，將原串X向後移n-next[n]個單位得到Y串，根據next的定義，知長為next[n]的尾碼串A與長為首碼串B相等，X串中的長為n-next[n]的首碼C與Y串中的首碼D相等，而X串中的串E又與Y串中的D相等……可見X串中的長為n-next[n]的首碼C可覆蓋全串。

２－長為n-next[n]的首碼是最短的。

c，串A是長為n-next[n]的首碼，串B是長為next[n]的尾碼，假設存在長度小於n-next[n]的首碼C能覆蓋全串，則將原串X截去前面一段C，得到新串Ｙ，則Ｙ必與原串長度大於next[n]的首碼相等，與next數組的定義（使str[1..i]前k個字母與後k個字母相等的最大k值。）矛盾。得證！有人問，為什麼Ｙ與原串長大於next[n]的首碼相等？由假設知原串的構成必為CCC……E（E為C的首碼），串Ｙ的構成必為CC……E（比原串少一個Ｃ），懂了吧！

 

最後得出結論：總長度-next[n].

 

// Memory   Time// 1347K     0MS// by : Snarl_jsb// 2014-10-02-21.08#include<algorithm>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<iostream>#include<vector>#include<queue>#include<stack>#include<map>#include<string>#include<climits>#include<cmath>#define N 1000010#define LL long longusing namespace std;string str;vector<int> next;void GetNext(){    int len=str.size();    next.push_back(0);    int k=0;    for(int i=1;i<len;++i)    {        if(k!=0&&str[i]!=str[k])            k=next[k-1];        if(str[i]==str[k])            k++;        next.push_back(k);    }}int main(){    ios_base::sync_with_stdio(false);    cin.tie(0);//    freopen("C:\\Users\\ASUS\\Desktop\\cin.cpp","r",stdin);//    freopen("C:\\Users\\ASUS\\Desktop\\cout.cpp","w",stdout);    while(cin>>str)    {        next.clear();        int len=str.size();        GetNext();//        for(int i=0;i<len;++i)//        {//            cout<<len-next[i]<<endl;//        }        cout<<"最小覆蓋子串為："<<len-next[len-1]<<endl;    }    return 0;}

　　

KMP演算法 - 求最小覆蓋子串