KMP演算法-之next數組-詳解，kmp演算法next數組

KMP演算法-之next數組-詳解，kmp演算法next數組

我們在一個母字串中尋找一個子字串有很多方法。KMP是一種最常見的改進演算法，它可以在匹配過程中失配的情況下，有效地多往後面跳幾個字元，加快匹配速度。

當然我們可以看到這個演算法針對的是子串有對稱屬性，如果有對稱屬性，那麼就需要向前尋找是否有可以再次匹配的內容。

 

在KMP演算法中有個數組，叫做首碼數組，也有的叫next數組，每一個子串有一個固定的next數組，它記錄著字串匹配過程中失配情況下可以向前多跳幾個字元，當然它描述的也是子串的對稱程度，程度越高，值越大，當然之前可能出現再匹配的機會就更大。

這個next數組的求法是KMP演算法的關鍵，但不是很好理解，我在這裡用通俗的話解釋一下，看到別的地方到處是數學公式推導，看得都蛋疼，這個篇文章僅貢獻給不喜歡看數學公式又想理解KMP演算法的同學。

 

1、用一個例子來解釋，下面是一個子串的next數組的值，可以看到這個子串的對稱程度很高，所以next值都比較大。

位置i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
首碼next[i]	0	0	0	0	1	2	3	1	2	3	4	5	6	7	4	0
子串	a	g	c	t	a	g	c	a	g	c	t	a	g	c	t	g

申明一下：下面說的對稱不是中心對稱，而是中心字元塊對稱，比如不是abccba，而是abcabc這種對稱。

（1）逐個尋找對稱串。

這個很簡單，我們只要迴圈遍曆這個子串，分別看前1個字元，前2個字元，3個... i個 最後到15個。

第1個a無對稱，所以對稱程度0

前兩個ag無對稱，所以也是0

依次類推前面0-4都一樣是0

前5個agcta，可以看到這個串有一個a相等，所以對稱程度為1前6個agctag，看得到ag和ag對成，對稱程度為2

　下面是如何進行對這個next值求解的過程：

例如一個字串：bread

首先，要瞭解兩個概念："首碼"和"尾碼"。 "首碼"指除了最後一個字元以外，一個字串的全部頭部組合；"尾碼"指除了第一個字元以外，一個字串的全部尾部組合。

　　

　　"next值"就是"首碼"和"尾碼"的最長的共有元素的長度。以"ABCDABD"為例，

　　－　"A"的首碼和尾碼都為空白集，共有元素的長度為0；

　　－　"AB"的首碼為[A]，尾碼為[B]，共有元素的長度為0；

　　－　"ABC"的首碼為[A, AB]，尾碼為[BC, C]，共有元素的長度0；

　　－　"ABCD"的首碼為[A, AB, ABC]，尾碼為[BCD, CD, D]，共有元素的長度為0；

　　－　"ABCDA"的首碼為[A, AB, ABC, ABCD]，尾碼為[BCDA, CDA, DA, A]，共有元素為"A"，長度為1；

　　－　"ABCDAB"的首碼為[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA]，尾碼為[BCDAB, CDAB, DAB, AB, B]，共有元素為"AB"，長度為2；

　　－　"ABCDABD"的首碼為[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA, ABCDAB]，尾碼為[BCDABD, CDABD, DABD, ABD, BD, D]，共有元素的長度為0。

這裡要注意了，想是這樣想，編程怎麼實現呢？

只要按照下面的規則：

a、當前面字元的前一個字元的對稱程度為0的時候，只要將當前字元與子串第一個字元進行比較。這個很好理解啊，前面都是0，說明都不對稱了，如果多加了一個字元，要對稱的話最多是當前的和第一個對稱。比如agcta這個裡面t的是0，那麼後面的a的對稱程度只需要看它是不是等於第一個字元a了。

 

b、按照這個推理，我們就可以總結一個規律，不僅前面是0呀，如果前面一個字元的next值是1，那麼我們就把當前字元與子串第二個字元進行比較，因為前面的是1，說明前面的字元已經和第一個相等了，如果這個又與第二個相等了，說明對稱程度就是2了。有兩個字元對稱了。比如上面agctag，倒數第二個a的next是1，說明它和第一個a對稱了，接著我們就把最後一個g與第二個g比較，又相等，自然對稱成都就累加了，就是2了。

 

c、按照上面的推理，如果一直相等，就一直累加，可以一直推啊，推到這裡應該一點難度都沒有吧，如果你覺得有難度說明我寫的太失敗了。

當然不可能會那麼順利讓我們一直對稱下去，如果遇到下一個不相等了，那麼說明不能繼承前面的對稱性了，這種情況只能說明沒有那麼多對稱了，但是不能說明一點對稱性都沒有，所以遇到這種情況就要重新來考慮，這個也是痛點所在。

 

（2）回頭來找對稱性

這裡已經不能繼承前面了，但是還是找對稱成都嘛，最愚蠢的做法大不了寫一個子函數，尋找這個字串的最大對稱程度，怎麼寫方法很多吧，比如尋找出所有的當前字串，然後向前走，看是否一直相等，最後走到子串開頭，當然這個是最蠢的，我們一般看到的KMP都是最佳化過的，因為這個串是有規律的。

在這裡依然用上面表中一段來舉個例子：   

位置i=0到14如下,我加的括弧只是用來說明問題：

(a g c t a g c )( a g c t a g c) t

我們可以看到這段，最後這個t之前的對稱程度分別是：1，2，3，4，5，6，7,倒數第二個c往前看有7個字元對稱，所以對稱為7。但是到最後這個t就沒有繼承前面的對稱程度next值，所以這個t的對稱性就要重新來求。

這裡首要要申明幾個事實

1、t 如果要存在對稱性，那麼對稱程度肯定比前面這個c 的對稱程度小，所以要找個更小的對稱，這個不用解釋了吧，如果大那麼t就繼承前面的對稱性了。

2、要找更小的對稱，必然在對稱內部還存在子對稱，而且這個t必須緊接著在子對稱之後。

如說明。

 

從上面的理論我們就能得到下面的首碼next數組的求解演算法。

void SetPrefix(const char *Pattern, int prefix[])

{

     int len=CharLen(Pattern);//模式字串長度。

     prefix[0]=0;

     for(int i=1; i<len; i++)

     {

         int k=prefix[i-1];

         //不斷遞迴判斷是否存在子對稱，k=0說明不再有子對稱，Pattern[i] != Pattern[k]說明雖然對稱，但是對稱後面的值和當前的字元值不相等，所以繼續遞推

         while( Pattern[i] != Pattern[k]  &&  k!=0 )               

             k=prefix[k-1];     //繼續遞迴

         if( Pattern[i] == Pattern[k])//找到了這個子對稱，或者是直接繼承了前面的對稱性，這兩種都在前面的基礎上++

              prefix[i]=k+1;

         else

              prefix[i]=0;       //如果遍曆了所有子對稱都無效，說明這個新字元不具有對稱性，清0

     }

}

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