KMP演算法總結

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• 預先計算p數組的規則：

 

一、KMP演算法介紹

 

KMP（Knuth、Morris、Pratt三人設計的演算法）；

KMP演算法主要用於模式比對，簡單地說就是字串的匹配，比如A="abc"，B="b"，問：B是否是A的子串，此時就需要用到KMP演算法；因為普通的演算法效率太低；

而KMP可以做到O（m+n）的線性時間；

 

二、普通模式比對演算法

 

模式比對演算法簡單地說就是給定兩個字串A、B，看是否B是A的子串，Java 中String類的indexOf()就是實現這個功能；

 

普通模式比對演算法思想：

比如有兩個字串A："ababc"，B："abc"；

第一步：初始化  i=1，j=1；（A[0]與B[0]可以空著或者存放字串的長度）；

第二步：迴圈遍曆A和B，如果A[i]==B[j],則i++,j++;

第三步：當跳出迴圈時，判斷是否B是A的子串；

步驟：

1. i = 1，j=1；

 

2.因為A[i]==B[j],因此i++，j++；

3.因為A[i]==B[j],因此i++，j++；

4.因為A[i]!=B[j]，所以 j還原為1，i還原為 i-j+2;

5.因為A[i]!=B[j]，所以 j還原為1，i還原為 i-j+2;

6.因為A[i]==B[j],因此i++，j++；

7.因為A[i]==B[j],因此i++，j++；

8.因為A[i]==B[j],因此i++，j++；

9.因為i和j同時越界，說明在最後匹配，所以B是A的子串；

 

從上面的步驟中可以看出：

普通的模式比對演算法是效率低下的，有許多步驟都是冗餘的，比如第5步：A[2]和B[1]的比較，因為在之前，我們已經比較過：A[2]=B[2]，B[1]!=B[2],所以A[2]!=B[1]，因此這步就是多餘的。

演算法如下：

 

private static int indexOf(String a, String b) {//1.定義兩個指標，分別指向a和bint i = 0;int j = 0;//2.遍曆while(i<a.length()&&j<b.length()){if(a.charAt(i)==b.charAt(j)){i++;j++;}else{i = i-(j-1);j = 0;}}/* * 匹配 * 1.匹配a的中間字串i<a.length() * 2.匹配a的最後字串(i==a.length()&&j==b.length()) * */if((i==a.length()&&j==b.length())||i<a.length()){return i-b.length();}else{return -1;}}

 三、KMP演算法

 

KMP演算法主要思想：i不用回朔，只需要不斷遞增即可，只需要j回朔即可；

 

回朔j的規則：

(1)將前面的已經匹配的字串取出來，找出一個子串，使得此子串既為匹配的字串的最長首碼也是最長尾碼；比如：

匹配的字串為"ababa",可以看出，"a"、“aba”既是首碼也是尾碼，但是“aba”長度較長，所以 j'=“aba".length();

用數學語言表達就是：

當A[i-j+1...i]=B[1...j]且A[i+1]!=B[j+1]，則需要調整j，使得重新A[i-j+1....i]=B[1...j]；

 

而我們又將回朔j的這個過程用一個數組進行預先計算，記作p[],p[j]表示當有j個字串已經匹配，但是第j+1個字元不匹配時回朔後的j'的新值；

比如前面的例子p[5]=3;因為"ababa"的長度為5，回朔後的j=3；

 

比如如下例子：

A[1...5]=B[1...5]，A[6]!=B[6]，i=6，j=5，因此我們需要回朔j（根據預先算好的p[]數組，回朔就是 j=p[j]）；

回朔原理：公用的部分為“ababa”，我們可以從此字串中看出："aba"是最長的首碼和尾碼，因此我們可以進行如的變換，使得j=3；

 

A[3...5]=B[1...3]，但是A[6]!=B[4]，i=6，j=3，因此繼續回朔，使得j=1；如所示

 

 

A[5]=B[1]，但是A[6]!=B[2]，i=6，j=1，所以繼續回朔，如所示，使得j=0：

 

 

因為j=0，所以不能繼續回朔，又因為i索引到了A字串的尾端，但是j仍然不是B的尾端，因此說明B不是A的子串；

 

 

 

KMP演算法如下：

/** * O（m+n）  平攤分析 *   * @param a 表示文本字串 * @param b 表示模式字串 * @return */public static int KMP_indexOf(String a,String b){int n = a.length();int m = b.length();//變成字元數組的原因是因為我們需要從索引1開始記錄資料，比如a = "aba"，則cha = {' ','a','b','a'};char cha[] = (" "+a).toCharArray();char chb[] = (" "+b).toCharArray();int j = 0;//b的指標int[] p = computePArray(chb);//根據b字串預先計算出p數組for(int i=1;i<=n;i++){while(j>0 && chb[j+1]!=cha[i]){//j值最多隻能減少m次，通過把m次攤還給n次for迴圈j = p[j];//回朔}if(chb[j+1]==cha[i]){j++;}if(j==m){//j已經匹配到了尾端，所以全部匹配return i-m;}}return -1;}private static int[] computePArray(char[] chb) {int[]p = new int[chb.length+1];p[1] = 0;int j = 0;for(int i=2;i<chb.length;i++){while(j>0&&chb[j+1]!=chb[i]){j = p[j];}if(chb[j+1]==chb[i]){j++;}p[i] = j;}return p;}

 

預先計算p數組的規則：

 

舉個例子，比如B=“ababac”,

1.初始化p[],並且將p[1]=0 ,i=2,j=0;

2.因為B[2]!=B[1]，所以p[2]=0，i=3，j=0;p[2]=0;

3.因為B[3]=B[1]，所以 j++，即j=1，i=4；p[3]=1;

4.因為B[4]=B[2]，所以j++,即j=2,i=5;p[4]=2;

5.因為B[5]=B[3],所以j++,即j=3，i=6，p[5]=3;

6.因為j>0,並且B[6]!=B[4]，所以j=p[j]=2;

7.因為j>0，且B[6]!=B[2]，所以j=p[j]=0;

8.因為j=0，並且B[6]!=B[2]，所以p[6]=0;

 

 

參考文獻：

http://www.matrix67.com/blog/archives/115/ 這篇文章寫的很不錯；

 

此文的實現方法也很好：

public static void computePArray(String T,int p[]){T = " "+T;int j=0;p[1] = 0;for(int i=2;i<p.length;i++){while(j>0&&T.charAt(j+1)!=T.charAt(i)){j = p[j];}if(T.charAt(j+1)==T.charAt(i)){j++;}p[i] = j;}}