KMP求最小迴圈節講解

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KMP最小迴圈節、重複持續時間：

定理：假設S的長度為len，則S存在最小迴圈節，迴圈節的長度L為len-next[len]，子串為S[0…len-next[len]-1]。

（1）如果len可以被len - next[len]整除，則表明字串S可以完全由迴圈節迴圈組成，重複持續時間T=len/L。

（2）如果不能，說明還需要再添加幾個字母才能補全。需要補的個數是迴圈個數L-len%L=L-(len-L)%L=L-next[len]%L，L=len-next[len]。

 

 

理解該定理，首先要理解next數組的含義：next[i]表示前面長度為i的子串中，首碼和尾碼相等的最大長度。

如：abcdabc

index	0	1	2	3	4	5	6	7
char	a	b	c	d	a	b	C
next	-1	0	0	0	0	1	2	3

 

如對於a,ab,abc,abcd，很明顯，首碼和尾碼相同的長度為0

  對於長度為5的子串abcda，首碼的a和尾碼的a相同，長度為1

  對於長度為6的子串abcdab，首碼的ab和尾碼的ab相同，長度為2

接下來舉幾個例子來說明最小迴圈節和重複持續時間：

為方便說明，先設字串的長度為len，迴圈子串的長度為L

1.

s0s1s2s3s4s5 ，next[6]=3

即s0s1s2=s3s4s5

很明顯可知：迴圈子串為s0s1s2，L=len-next[6]=3，且能被len整除。

 

2.

s0s1s2s3s4s5s6s7 ，next[8]=6

此時len-next[8]=2 ，即L=2

由s0s1s2s3s4s5=s2s3s4s5s6s7

可知s0s1=s2s3,s2s3=s4s5,s4s5=s6s7

顯然s0s1為迴圈子串

 

3.

s0s1s2s3s4s5s6 ，next[7]=4

此時len-next[7]=3，即L=3

由s0s1s2s3=s3s4s5s6

可知s0s1=s3s4,s2s3=s5s6

從而可知s0s1s2=s3s4s5，s0=s3=s6

即如果再添加3-4%3=2個字母（s1s2），那麼得到的字串就可以由s0s1s2迴圈3次組成

 

這個定理可以這麼理解：

http://www.cnblogs.com/oyking/p/3536817.html

對於一個字串，如abcd abcd abcd，由長度為4的字串abcd重複3次得到，那麼必然有原字串的前八位等於後八位。

也就是說，對於某個字串S，長度為len，由長度為L的字串s重複R次得到，當R≥2時必然有S[0..len-L-1]=S[L..len-1]，字串下標從0開始

那麼對於KMP演算法來說，就有next[len]=len-L。此時L肯定已經是最小的了（因為next的值是首碼和尾碼相等的最大長度，即len-L是最大的，那麼在len已經確定的情況下，L是最小的）。

 

如果一定仔細證明的話，請看下面：

（參考來自：http://www.cnblogs.com/wuyiqi/archive/2012/01/06/2314078.html，有所改動）

 k    m   x     j     i

由上，next【i】=j，兩段紅色的字串相等（兩個字串完全相等），s[k....j]==s[m....i]

設s[x...j]=s[j....i](xj=ji)

則可得，以下簡寫字串表達方式

kj=kx+xj;

mi=mj+ji;

因為xj=ji，所以kx=mj，如所示

 k   m     a    x    j     i

設s[a…x]=s[x..j](ax=xj)

又由xj=ji，可知ax=xj=ji

即s[a…i]是由s[a…x]迴圈3次得來的。

而且看到沒，此時又重複上述的模型，s[k…x]=s[m…j]，可以一直遞推下去

最後可以就可以遞推出文章開頭所說的定理了。

 

最後再舉兩個相關例子

abdabdab  len:8 next[8]:5

最小迴圈節長度：3（即abd）   需要補的個數是1  d

ababa  len:5 next[5]：3

最小迴圈節長度：2（即ab）    需要補的個數是1  b

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