二分圖的一些知識

對於任意圖：

|最小邊覆蓋|+|最大匹配|=|V|

二分圖的最大匹配=最小點覆蓋數

對於二分圖：

以下數值等價.

最大匹配

最小點覆蓋

|V|-最大獨立集(二分圖or有向非循環圖)

|V|-最小邊覆蓋數

|V|-最小路徑覆蓋數(有向非循環圖)

|V|-最小路徑覆蓋數/2(無向圖)

（上面括弧裡有有向非循環圖的，均是將一個點拆成兩個點連邊匹配）

由於任意圖的那幾個幾乎用不到於是這裡只貼二分圖的定義

 

最小點覆蓋：理解為點覆蓋邊，即用最小的點覆蓋所有的邊。(若一條邊的其中一個端點被選用，這條邊就被覆蓋了)

 

最大獨立集：求一個最大的點集，裡面的點不存在任何的邊相連。

 

最小邊覆蓋：理解為邊覆蓋點，用最少的邊把圖中的點全部覆蓋。

 

最小路徑覆蓋：用最少的路徑把圖中的所有點覆蓋。

 

另外：最大獨立集與最小覆蓋集互補。

 

推廣到有權的形式也一樣,即最大點權獨立集與最小點權覆蓋集互補

 

求最小點權覆蓋集可以這樣求：

 

先對圖黑白染色，然後向白色的點放X部，黑色的點放Y部。

1、連邊[S,i],容量等於i的點權。（對於二分圖的X集）

 

2、連邊[i,T],容量等於i的點權。（對於二分圖的Y集）

 

3、對於有邊的i和j連邊[i,j]（i∈X，j∈Y）,容量為INF

 

最後得出的最大流就是最小點權覆蓋，實際上是最小割與之對應。

 

對於求了傳遞閉包以後的有向非循環圖：

 

最大反鏈=|V|-最大匹配