Kruskal（克魯斯卡爾） 最小產生樹 演算法詳解+模板

最小產生樹

在含有n個頂點的連通圖中選擇n-1條邊，構成一棵極小連通子圖，並使該連通子圖中n-1條邊上權值之和達到最小，則稱其為連通網的最小產生樹。

例如，對於如上圖G4所示的連通網可以有多棵權值總和不相同的產生樹。

克魯斯卡爾演算法介紹
克魯斯卡爾(Kruskal)演算法，是用來求加權連通圖的最小產生樹的演算法。

基本思想：按照權值從小到大的順序選擇n-1條邊，並保證這n-1條邊不構成迴路。
具體做法：首先構造一個只含n個頂點的森林，然後依權值從小到大從連通網中選擇邊加入到森林中，並使森林中不產生迴路，直至森林變成一棵樹為止。
克魯斯卡爾演算法圖解
以上圖G4為例，來對克魯斯卡爾進行示範(假設，用數組R儲存最小產生樹結果)。

第1步：將邊(E,F)加入R中。
邊(E,F)的權值最小，因此將它加入到最小產生樹結果R中。
第2步：將邊(C,D)加入R中。
上一步操作之後，邊(C,D)的權值最小，因此將它加入到最小產生樹結果R中。
第3步：將邊(D,E)加入R中。
上一步操作之後，邊(D,E)的權值最小，因此將它加入到最小產生樹結果R中。
第四步：將邊(B,F)加入R中。
上一步操作之後，邊(C,E)的權值最小，但(C,E)會和已有的邊構成迴路；因此，跳過邊(C,E)。同理，跳過邊(C,F)。將邊(B,F)加入到最小產生樹結果R中。
第5步：將邊(E,G)加入R中。
上一步操作之後，邊(E,G)的權值最小，因此將它加入到最小產生樹結果R中。
第6步：將邊(A,B)加入R中。
上一步操作之後，邊(F,G)的權值最小，但(F,G)會和已有的邊構成迴路；因此，跳過邊(F,G)。同理，跳過邊(B,C)。將邊(A,B)加入到最小產生樹結果R中。

此時，最小產生樹構造完成。它包括的邊依次是：(E,F) (C,D) (D,E) (B,F) (E,G) (A,B)。
克魯斯卡爾演算法分析
根據前面介紹的克魯斯卡爾演算法的基本思想和做法，我們能夠瞭解到，克魯斯卡爾演算法重點需要解決的以下兩個問題：
問題一 對圖的所有邊按照權值大小進行排序。
問題二 將邊添加到最小產生樹中時，怎麼樣判斷是否形成了迴路。

問題一很好解決，採用排序演算法進行排序即可。

問題二，處理方式是：記錄頂點在”最小產生樹”中的終點，頂點的終點是”在最小產生樹中與它連通的最大頂點”(關於這一點，後面會通過圖片給出說明)。然後每次需要將一條邊添加到最小生存樹時，判斷該邊的兩個頂點的終點是否重合，重合的話則會構成迴路。 以下圖來進行說明：

在將(E,F) (C,D) (D,E)加入到最小產生樹R中之後，這幾條邊的頂點就都有了終點：

**(01) C的終點是F。
(02) D的終點是F。
(03) E的終點是F。
(04) F的終點是F。**

關於終點，就是將所有頂點按照從小到大的順序排列好之後；某個頂點的終點就是”與它連通的最大頂點”。 因此，接下來，雖然(C,E)是權值最小的邊。但是C和E的重點都是F，即它們的終點相同，因此，將(C,E)加入最小產生樹的話，會形成迴路。這就是判斷迴路的方式。
克魯斯卡爾演算法的代碼說明

有了前面的演算法分析之後，下面我們來查看具體代碼。這裡選取”鄰接矩陣”進行說明，對於”鄰接表”實現的圖在後面的源碼中會給出相應的源碼。

1. 基本定義

// 鄰接矩陣typedef struct _graph{    char vexs[MAX];       // 頂點集合    int vexnum;           // 頂點數    int edgnum;           // 邊數    int matrix[MAX][MAX]; // 鄰接矩陣}Graph, *PGraph;// 邊的結構體typedef struct _EdgeData{    char start; // 邊的起點    char end;   // 邊的終點    int weight; // 邊的權重}EData;

Graph是鄰接矩陣對應的結構體。
vexs用於儲存頂點，vexnum是頂點數，edgnum是邊數；matrix則是用於儲存矩陣資訊的二維數組。例如，matrix[i][j]=1，則表示”頂點i(即vexs[i])”和”頂點j(即vexs[j])”是鄰接點；matrix[i][j]=0，則表示它們不是鄰接點。
EData是鄰接矩陣邊對應的結構體。
轉自 http://www.cnblogs.com/skywang12345/
2. 克魯斯卡爾演算法
模板1

/* * 克魯斯卡爾（Kruskal)最小產生樹 */void kruskal(Graph G){    int i,m,n,p1,p2;    int length;    int index = 0;          // rets數組的索引    int vends[MAX]={0};     // 用於儲存"已有最小產生樹"中每個頂點在該最小樹中的終點。    EData rets[MAX];        // 結果數組，儲存kruskal最小產生樹的邊    EData *edges;           // 圖對應的所有邊    // 擷取"圖中所有的邊"    edges = get_edges(G);    // 將邊按照"權"的大小進行排序(從小到大)    sorted_edges(edges, G.edgnum);    for (i=0; i<G.edgnum; i++)    {        p1 = get_position(G, edges[i].start);   // 擷取第i條邊的"起點"的序號        p2 = get_position(G, edges[i].end);     // 擷取第i條邊的"終點"的序號        m = get_end(vends, p1);                 // 擷取p1在"已有的最小產生樹"中的終點        n = get_end(vends, p2);                 // 擷取p2在"已有的最小產生樹"中的終點        // 如果m!=n，意味著"邊i"與"已經添加到最小產生樹中的頂點"沒有形成環路        if (m != n)        {            vends[m] = n;                       // 設定m在"已有的最小產生樹"中的終點為n            rets[index++] = edges[i];           // 儲存結果        }    }    free(edges);    // 統計並列印"kruskal最小產生樹"的資訊    length = 0;    for (i = 0; i < index; i++)        length += rets[i].weight;    printf("Kruskal=%d: ", length);    for (i = 0; i < index; i++)        printf("(%c,%c) ", rets[i].start, rets[i].end);    printf("\n");}

模板2

#include<stdio.h>#include<string.h>#define inf 0x3f3f3f3fint map[110][110],dis[110],visit[110];/*關於三個數組：map數組存的為點邊的資訊，比如map[1][2]=3，表示1號點和2號點的距離為3dis數組存的為起始點與每個點的最短距離，比如dis[3]=5，表示起始點與3號點最短距離為5visit數組存的為0或者1，1表示已經走過這個點。*/int n,m;int dijstra(){    int i,j,pos=1,min,sum=0;    memset(visit,0,sizeof(visit));//初始化為.，表示開始都沒走過    for(i=1; i<=n; ++i)    {        dis[i]=map[1][i];    }    visit[1]=1;    dis[1]=0;    for(i=1; i<n; i++)    {        min=inf;        for(j=1; j<=n; ++j)        {            if(visit[j]==0&&min>dis[j])            {                min=dis[j];                pos=j;            }        }        visit[pos]=1;//表示這個點已經走過        for(j=1; j<=n; ++j)        {            if(visit[j]==0&&dis[j]>dis[pos]+map[pos][j])//更新dis的值                dis[j]=dis[pos]+map[pos][j];        }    }    return dis[n];}int main(){    int i,j;    while(~scanf("%d%d",&n,&m),n||m)//n表示n個點，m表示m條邊    {        for(i=1; i<=n; ++i)        {            for(j=1; j<=n; ++j)            {                map[i][j]=inf;//開始時將每條邊賦為最大值            }        }        int a,b,c;        for(i=1; i<=m; ++i)        {            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);            if(c<map[a][b])//防止有重邊                map[a][b]=map[b][a]=c;        }        int count=dijstra();        printf("%d\n",count);    }    return 0;}