拉格朗日插值法

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作用
拉格朗日插值法可以找到一個多項式，其恰好在各個觀測的點取到觀測到的值。這樣的多項式稱為拉格朗日（插值）多項式。數學上來說，拉格朗日插值法可以給出一個恰好穿過二維平面上若干個已知點的多項式函數。

一句話 給出\(n+1\)個點的資訊求\(n\)次的未知式。

概念
若已知\(y=f(x)\)在互不相同\(n+1\)個點\(x_0,x_1,...x_n\)處的函數值\(y_0,y_1,...,y_n\)(即該函數過 \((x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)\)這\(n+1\)個點),則可以考慮構造一個過這\(n+1\)個點，次數不超過\(n\)的多項式\(y=P_n(x)\),使其滿足
\[P_n(x_k)=y_k (k=0,1,...,n)\]
要估計任一點\(\xi\)，\(\xi\)≠\(x_i\),\(i=0,1,...,n\)，則可以用\(P_n\)\((\)\(\xi\)\()\)的 值作為精確\(f\)\((\)\(\xi\)\()\)的近似值，此方法叫做“插值法”。

定理
滿足插值條件的次數不超過\(n\)的多項式是存在而且是唯一的。

作法
設集合\(D_n\)是關於點\((x,y)\)的角標的集合，\(D_n={0,1,...,n-1}\)，作\(n\)個多項式\(p_j(x),j\in D_n\)。對於任意\(k\in D_n\)，都有\(p_k(x)\),\(B_k=\){\(i|i\not = k,i\in D_n\)}，使得
\[p_k(x)=\prod_{i\in B_k}{\frac{x-x_i}{x_k-x_i}}\]
\(p_k(x)\)是\(n-1\)次多項式，且滿足\(\forall m\in Ik,p_k(x_m)=0\)並且\(p_k(x_k)=1\)。

最後可得\(L_n(x)=\sum_{j=0}^{n-1}{y_jp_j(x)}\)。

形如上式的插值多項式\(L_n(x)\)稱為拉格朗日插值多項式。

例如：當\(n=4\)時，上面的公式可簡化為：
\[f(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}y_0+\frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}y_1+\frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}y_2+\frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}y_3\]
這是一個過四個點的唯一的三次多項式

重心拉格朗日插值法

\[f_i(x)=\frac{\prod_{j\not =i}{(x-x_j)}}{\prod_{j\not =i}{(x_i-x_j)}}y_i\]
\[g(x)=\sum_{i=0}^nf_i(x)\]
考慮得到的Function Compute了重複的部分，

設
\[l(x)=\prod_{i=1}^n{(x-x_i)}\]
則
\[f_i(x)=\frac{l(x)}{(x-x_i)\prod_{j\not =i}{(x_i-x_j)}}y_i\]

拉格朗日插值法