[學習筆記]計算幾何基礎

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三角函數

向量

線性空間中有大小和方向的量.

座標表示:$P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$.

$\overrightarrow{PQ}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$.

$|PQ|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.

向量運算

$a=(x_1,y_1),b=(x_2,y_2)$.

• 加法

$a+b=(x_1+x_2,y_1+y_2)$.

• 減法

$a-b=(x_1-x_2,y_1-y_2)$.

• 點乘

$a\;\cdot\;b=x_1x_2+y_1y_2$.

$a\;\cdot\;b=|a||b|cos<a,b>$

應用:求兩向量夾角,判斷是否垂直($cos90$°$=0$).

• 叉乘

$a\;\times\;b=x_1y_2-x_2y_1$.

$|a\;\times\;b|=|a||b|sin<a,b>$.

$a\;\times\;b=0$,共線.

判斷線段交

$(AC\;\times\;AD)(BC\;\times\;BD)\;\leq\;0$且$(CA\;\times\;CB)(DA\;\times\;DB)\;\leq\;0$.

向量旋轉

將$a(x_1,y_1)$逆時針旋轉$\theta$(弧度)得到$b(x_1cos\theta-y_1sin\theta,x_1sin\theta+y_1cos\theta)$.

$P.S.$只改變方向(長度不變).記憶方法:旋轉$\pi/2$得到的結果$(-y_1,x_1)$.

三點共線

夾角為$0$且$a\;\times\;b=0$.

點是否在射線上

夾角為$0$且點乘$\geq\;0$.

$<0$?反向！

多邊形面積

設多邊形頂點依次為$P_1,P_2,...,P_n$.

$\large{S=|\frac{\sum_{i=1}^{n-1}\overrightarrow{OP_i}\times\overrightarrow{OP_{i+1}}+\overrightarrow{OP_n}\times\overrightarrow{OP_{1}}}{2}}|$.

點到直線垂足

點到直線垂足$D,ED\;\perp\;AB$.

旋轉$\overrightarrow{AB}\pi/2$.

直線求交.

圓的位置關係

$d$為兩圓圓心距,$R,r$分別為兩圓半徑.

$d>R+r$ 外離;

$d=R+r$ 外切;

$|R – r|<d<R+r$ 相交;

$d=|R–r|$ 內切;

$d<|R–r|$內含.

點是否在凸多邊形內

隨機射線

推薦

http://dev.gameres.com/Program/Abstract/Geometry.htm#判斷點是否在多邊形中

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