【學習筆記】字串編輯距離（字串相似性）

字串編輯距離是一個很經典的問題了，以前參加編程比賽、筆試面試的時候經常會碰到，今天看《編程之美》的3.3節中又遇到了該問題，又重新回顧了一邊，順便在這裡總結一下。

【問題描述】

給定一個源字串和目標字串，能夠對源串進行如下操作：
   1.在給定位置上插入一個字元
   2.替換任一字元
   3.刪除任一字元

求通過以上操作使得源字串和目標字串一致的最小操作步數。（問題的詳細描述參考《數學之美》3.3）。

【解題思想】

簡單描述一下解該題的思想，源字串和目標字串分別為str_a、str_b，二者的長度分別為la、lb，定義f[i,j]為子串str_a[0...i]和str_b[0...j]的最小編輯距離，簡單分析可知求得的str_a[0...i]和str_b[0...j]的最小編輯距離有一下三種可能：
（1）去掉str_a[0...i]的最後一個字元跟str_b[0...j]匹配，則f[i, j]的值等於f[i-1, j]+1；
（2）去掉str_b[0...j]的最後一個字元跟str_a[0...i]匹配，則f[i, j]的值等於f[i, j-1]+1；
（3）去掉str_a[0...i]和str_b[0...j]的最後一個字元，讓二者匹配求得f[i-1, j-1]，計算f[i, j]時要考慮當前字元是否相等，如果str_a[i]==str_b[j]說明該字元不用編輯，所以f[i, j]的值等於f[i-1,
j-1]，如果str_a[i]!=str_b[j]說明該字元需要編輯一次（任意修改str_a[i]或者str_b[j]即可），所以f[i, j]的值等於f[i-1, j-1]+1。
因為題目要求的是最小的編輯距離，所以去上面上中情況中的最小值即可，因此可以得到遞推公式：

f[i, j] = Min ( f[i-1, j]+1,   f[i, j-1]+1,   f[i-1, j-1]+(str_a[i]==str_b[j] ? 0 : 1) )

是維基百科【參考文獻1】中的遞推式，實際上與上面的是一樣的：

【解題方法】

有了上面的遞推公式便可以編程實現了，一般會有兩種解法。

第一種：遞迴方法（也是動態規劃方法），通過上面的遞推公式寫出遞迴程式，這裡就不貼出原始碼了，網上到處都是。用遞迴方法要注意一個問題，從f[la-1, lb-1]往下遞迴時會有重複計算f[x, y](x<la-1, y<lb-1)的情況，是非常影響程式效率的，所以一般會建立f值得緩衝，因此遞迴方法的程式會有兩個版本，一個是最簡單最原始的版本——不帶f值緩衝，另一個版本帶f值緩衝，維基百科【參考文獻1】中給出了這兩個版本的程式。

第二種：遞推方法（也可稱為矩陣標記法），通過分析可知可以將f[i, j]的計算在一個二維矩陣中進行，上面的遞推式實際上可以看做是矩陣單元的計算遞推式，只要把矩陣填滿了，f[la-1, lb-1]的值就是要求得最小編輯距離，具體的過程這裡不再贅述，可以參考【參考文獻2】，程式網上也有很多。

【文獻3】提供了上面提到的三種版本的程式。

【補充】

最後補充一下“字串相似性”的定義，《編程之美》3.3節中提到：相似性表示為1/(最小編輯距離 + 1)，比如abcdefg和abcdef最小編輯距離為1（通過abcdefg刪除g一個操作），這樣相似性為1/2 = 0.5。

【參考文獻】

http://en.wikipedia.org/wiki/Levenshtein_distance

http://www.cnitblog.com/ictfly/archive/2005/12/27/5828.aspx

http://blog.163.com/kevinlee_2010/blog/static/16982082020111123111835146/