[學習筆記]樹鏈剖分

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基本思想

樹鏈剖分一種對樹進行劃分的演算法，它先通過輕重邊剖分將樹分為多條鏈，保證每條邊屬於且只屬於一條鏈，然後再通過資料結構來維護每一條鏈。

一些定義

樹鏈:樹上的路徑.

剖分:把路徑分類為重鏈和輕鏈.

重兒子:u的子節點中siz[v]值最大的v.

輕兒子:u的其它子節點.

重邊:點u與其重兒子的連邊.

輕邊:點u與其輕兒子的連邊.

重鏈:由重邊連成的路徑.

輕鏈:輕邊.

性質

1. 如果(u,v)為輕邊，則siz[v]$\times$2<siz[u].
2. 從根到某一點的路徑上輕鏈、重鏈的個數都不大於log$\;$n.
3. 樹剖序其實也可以是dfs序的一種.

實現

一些變數:

f[u]表示u的父親.

siz[u]表示以u為根的子樹的大小.

dep[u]表示u的深度(根深度為1).

top[u]表示u所在的鏈的頂端節點.

son[u]表示與u的重兒子.

重標號:

p[u]:重標號後u的編號.

dfs序:dfs的時候先走重邊.

這樣可以使得重邊的編號是連續的,方便維護.

• 用兩遍dfs求出所需的所有變數以及重標號.

int f[N],p[N],dep[N],siz[N],son[N],top[N];/*top[u]:u所在的鏈的頂端節點,son[u]:u的重兒子*/inline void dfs1(int u){    int m=0;siz[u]=1;    for(int i=g[u];i;i=e[i].nxt)        if(!dep[e[i].to]){            f[e[i].to]=u;            dep[e[i].to]=dep[u]+1;            dfs1(e[i].to);            siz[u]+=siz[e[i].to];            if(siz[e[i].to]>m){                son[u]=e[i].to;                m=siz[e[i].to];            }        }}inline void dfs2(int u,int tp){    top[u]=tp;p[u]=++cnt;ww[cnt]=w[u];    if(son[u]) dfs2(son[u],tp);    for(int i=g[u];i;i=e[i].nxt){        if(e[i].to!=f[u]&&e[i].to!=son[u])            dfs2(e[i].to,e[i].to);    }}

• 訪問修改(u,v):

類似倍增的走法,每次將深度大的往上移,直到u,v屬於同一條鏈.

inline int sum(int x,int y){    int ret=0,t;    while(top[x]!=top[y]){        if(dep[top[x]]<dep[top[y]]){            t=x;x=y;y=t;        }        ret+=ask(1,p[top[x]],p[x]);        x=f[top[x]];    }    if(p[x]>p[y]){        t=x;x=y;y=t;    }    ret+=ask(1,p[x],p[y]);    return ret; }

inline void change(int x,int y,int k){    int t;    while(top[x]!=top[y]){        if(dep[top[x]]<dep[top[y]]){            t=x;x=y;y=t;        }        cover(1,p[top[x]],p[x],k);        x=f[top[x]];    }    if(p[x]>p[y]){        t=x;x=y;y=t;    }    cover(1,p[x],p[y],k);}

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