LeetCode 11 - 盛最多水的容器 - [雙指標暴力]

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題目連結：https://leetcode-cn.com/problems/container-with-most-water/description/

給定 n 個非負整數 $a_1,a_2,\cdots,a_{n-1},a_n$，每個數代表座標中的一個點 $(i, a_i)$。在座標內畫 n 條垂直線，垂直線 i 的兩個端點分別為 $(i, ai_)$ 和 $(i, 0)$。

找出其中的兩條線，使得它們與 $x$ 軸共同構成的容器可以容納最多的水。

說明：你不能傾斜容器，且 $n$ 的值至少為 2。

樣本:

輸入: [1,8,6,2,5,4,8,3,7]輸出: 49

 

（引用來自官網上的）題解：

這種方法背後的思路在於，兩線段之間形成的地區總是會受到其中較短那條長度的限制。此外，兩線段距離越遠，得到的面積就越大；

我們在由線段長度構成的數組中使用兩個指標，一個放在開始，一個置於末尾；

此外，我們會使用變數 maxarea 來持續儲存到目前為止所獲得的最大面積；

在每一步中，我們會找出指標所指向的兩條線段形成的地區，更新 maxarea，並將指向較短線段的指標向較長線段那端移動一步。

說實話，其實演算法過程非常簡單，實現起來也就個位元行的代碼，但是，怎麼證明這樣的演算法是正確的呢？

 

證明（以下參考1190000016654619）：

假設最優解的容器的兩個邊界在位置 $L$ 和 $R$，高度為 $h(L)$ 和 $h(R)$，那麼根據演算法，由於每次左右指標中只有一個能移動一步，那麼必然有一個先到達兩個邊界中的一個，

不妨假設是左指標先走到 $L$，即 $l=L$；那麼此時右指標必然還沒有走到 $R$，即 $r > R$；

那麼，只要證明如下假設：接下來的每一步都只能是右指標左移一格，左指標始終不能動。就意味著我們的演算法在枚舉過程中，必然會在某一步走到最優解，從而使得演算法得到的答案正確；

採用反證法：

若上述假設不成立，則意味著如下假設成立：必然存在某一步，是左指標右移一格，而右指標沒有動；

則根據以上描述可知，在這一步的時候：$l=L<R<r$ 且 $h(l) = h(L) < h(r)$，由此可知此時邊界為 $l$ 和 $r$ 的容器的容量 $S$ 為

$S = h\left( l \right) \times \left( {r - l} \right) = h\left( L \right) \times \left( {r - l} \right)$

然而，此時我們根據 $r > R \Rightarrow r - l > R - l = R - L$ 又有

$S = h\left( L \right) \times \left( {r - l} \right) > \min \left( {h\left( L \right),h\left( R \right)} \right) \times \left( {R - L} \right)$

很明顯，$\min \left( {h\left( L \right),h\left( R \right)} \right) \times \left( {R - L} \right)$ 已經是最大的容積了，顯然不應當存在不這還大的容器，

因此，證明了假設：當左指標先走到 $L$ 時，接下來的每一步都只能是右指標左移一格，左指標始終不能動；

類似地，也可以證明，當右指標先走到 $R$ 時，接下來的每一步都只能是左指標右移一格，右指標始終不能動；

證畢。

 

AC代碼：

class Solution{public:    int maxArea(vector<int>& height)    {        int mx=0,l=0,r=height.size()-1;        while(l<r)        {            mx=max(mx,min(height[l],height[r])*(r-l));            if(height[l]<height[r]) l++;            else r--;        }        return mx;    }};

 

LeetCode 11 - 盛最多水的容器 - [雙指標暴力]