[leetcode] 343. Integer Break

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Given a positive integer n, break it into the sum of at least two positive integers and maximize the product of those integers. Return the maximum product you can get.

For example, given n = 2, return 1 (2 = 1 + 1); given n = 10, return 36 (10 = 3 + 3 + 4).

Note: you may assume that n is not less than 2.

 

Solution:

if n = 2, 2 = 1 + 1, f(2) = 1

if n = 3, 3 = 1 + 2, f(3) = 2

if n = 4, 4 = 2 + 2, f(4) = 4

if n > 4, n = (n - 3) + 3, 3*(n-3) > n,  因此所有大於4的整數，都可以通過拆分成2， 3， 4的組合來達到最大值。

其中，4又等價於2 + 2， 所以只需要使用2和3兩個數。

下面證明n>4時，需要將n拆分成儘可能多的3.

for n > 4, n = 2 * x + 3 * y (x>=0, y >= 0)

f(n) = 2^x * 3^y = 2^((n - 3y)/2) * 3^y

lnf(n) = yln3 + (n - 3y)/2 * ln2 = n/2 *ln2 + (ln3 - 3/2 * ln2)y

let g(y) =  n/2 *ln2 + (ln3 - 3/2 * ln2)y

顯然，g(y)是y的增函數，所以y越大越好，即：3的個數越多越好

 

非遞迴解：

 1 int integerBreak(int n)  2     { 3         if (n < 4) 4             return n - 1; 5         if (n == 4) 6             return 4; 7              8         int ret = 1; 9         while (n > 4)10         {11             ret *= 3;12             n -= 3;13         }14         15         return ret * n;16     }

 

遞迴解：

 1 int integerBreak(int n)  2     { 3         if (n < 4) 4             return n - 1; 5         else if (n == 4) 6             return 4; 7         else if (n - 3 < 4) 8             return (n - 3) * 3; 9         10         return integerBreak(n - 3) * 3;11     }

 

[leetcode] 343. Integer Break