Leetcode: Maximal Rectangle

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Given a 2D binary matrix filled with 0‘s and 1‘s, find the largest rectangle containing all ones and return its area.

難度：90 這是一道非常綜合的題目，要求在0-1矩陣中找出面積最大的全1矩陣。剛看到這道題會比較無從下手，brute force就是對於每個矩陣都看一下，總共有m(m+1)/2*n(n+1)/2個子矩陣（原理跟字串子串類似，字串的子串數有n(n+1)/2，只是這裡是二維情形，所以是兩個相乘），複雜度相當高，肯定不是面試官想要的答案，就不繼續想下去了。

看了一下網上的分析，發現這道題可以在Largest Rectangle in Histogram基礎之上做。假設我們把矩陣沿著某一行切下來，然後把切的行作為底面，將自底面往上的矩陣看成一個長條圖（histogram）。長條圖的中每個項的高度就是從底面行開始往上1的數量。根據Largest Rectangle in Histogram我們就可以求出當前行作為矩陣下邊緣的一個最大矩陣。接下來如果對每一行都做一次Largest Rectangle in Histogram，從其中選出最大的矩陣，那麼它就是整個矩陣中面積最大的子矩陣。

演算法的基本思路已經出來了，剩下的就是一些節省時間空間的問題了。
我們如何計算某一行為底面時長條圖的高度呢？ 如果重新計算，那麼每次需要的計算數量就是當前行數乘以列數。然而在這裡我們會發現一些動態規劃的蹤跡，如果我們知道上一行長條圖的高度，我們只需要看新加進來的行（底面）上對應的列元素是不是0，如果是，則高度是0，否則則是上一行長條圖的高度加1。利用曆史資訊，我們就可以線上行時間內完成對高度的更新。我們知道，Largest Rectangle in Histogram的演算法複雜度是O(n)。所以完成對一行為底邊的矩陣求解複雜度是O(n+n)=O(n)。接下來對每一行都做一次，那麼演算法總時間複雜度是O(m*n)。

空間上，我們只需要儲存上一行長條圖的高度O(n)，加上Largest Rectangle in Histogram中所使用的空間O(n)，所以總空間複雜度還是O(n)。

編程上一些小細節：如果一行中左右兩相鄰元素值相等，遍曆到右邊元素（左邊元素正在棧頂），需要pop操作的，而不是push

 1 public class Solution { 2     public int maximalRectangle(char[][] matrix) { 3         if (matrix==null || matrix.length==0 || matrix[0].length==0) return 0; 4         int[] height = new int[matrix[0].length]; 5         int maxArea = 0; 6          7         for (int row=0; row<matrix.length; row++) { 8             LinkedList<Integer> stack = new LinkedList<Integer>(); 9             for (int i=0; i<matrix[0].length; i++) {10                 if (matrix[row][i] != ‘0‘) height[i] = height[i] + 1;11                 else height[i] = 0;12             }13             for (int col=0; col<matrix[0].length; col++) {14                 if (stack.size()==0 || height[col]>height[stack.peek()]) {15                     stack.push(col);16                 }17                 else {18                     int temp = stack.pop();19                     int width = (stack.size()==0)? col : col-stack.peek()-1;20                     maxArea = Math.max(maxArea, width*height[temp]);21                     col--;22                 }23             }24             while (stack.size() != 0) {25                 int temp = stack.pop();26                 int width = (stack.size()==0)? height.length : height.length-stack.peek()-1;27                 maxArea = Math.max(maxArea, width*height[temp]);28             }29         }30         31         return maxArea;32     }33 }

 

Leetcode: Maximal Rectangle