Leetcode: Maximum Subarray

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Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.For example, given the array [−2,1,−3,4,−1,2,1,−5,4],the contiguous subarray [4,−1,2,1] has the largest sum = 6.

思想難度：99，操作難度：50。思想大於行動的一項有力證明。這是一道非常經典的動態規劃的題目，用到的思路我們在別的動態規劃題目中也很常用，以後我們稱為”局部最優和全域最優解法“。差不多的DP問題參見：Jump Game, Jump Game II
基本思路是這樣的，在每一步，我們維護兩個變數，一個是全域最優，就是到當前元素為止最優的解是，一個是局部最優，就是必須包含當前元素的最優的解。接下來說說動態規劃的遞推式（這是動態規劃最重要的步驟，遞迴式出來了，基本上代碼架構也就出來了）。假設我們已知第i步的global[i]（全域最優）和local[i]（局部最優），那麼第i+1步的運算式是：
local[i+1]=Math.max(A[i], local[i]+A[i])，就是局部最優是一定要包含當前元素，所以不然就是上一步的局部最優local[i]+當前元素A[i]（因為local[i]一定包含第i個元素，所以不違反條件），但是如果local[i]是負的，那麼加上他就不如不需要的，所以不然就是直接用A[i]；
global[i+1]=Math(local[i+1],global[i])，有了當前一步的局部最優，那麼全域最優就是當前的局部最優或者還是原來的全域最優（所有情況都會被涵蓋進來，因為最優的解如果不包含當前元素，那麼前面會被維護在全域最優裡面，如果包含當前元素，那麼就是這個局部最優）。

接下來我們分析一下複雜度，時間上只需要掃描一次數組，所以時間複雜度是O(n)。空間上我們可以看出運算式中只需要用到上一步local[i]和global[i]就可以得到下一步的結果，所以我們在實現中可以用一個變數來迭代這個結果，不需要是一個數組，也就是如程式中實現的那樣，所以空間複雜度是兩個變數（local和global），即O(2)=O(1)

 1 public class Solution { 2     public int maxSubArray(int[] A) { 3         if (A.length == 0 || A == null) return 0; 4         int GlobalLarge = A[0]; 5         int CurrLarge = A[0]; 6         for (int i=1; i<A.length; i++) { 7             CurrLarge = Math.max(A[i], CurrLarge+A[i]); 8             GlobalLarge = Math.max(CurrLarge, GlobalLarge); 9         }10         return GlobalLarge;11     }12 }

 

Leetcode: Maximum Subarray