[leetcode] Minimum Path Sum

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Given a m x n grid filled with non-negative numbers, find a path from top left to bottom right which minimizes the sum of all numbers along its path.

Note: You can only move either down or right at any point in time.

Example:

Input:[  [1,3,1],  [1,5,1],  [4,2,1]]Output: 7Explanation: Because the path 1→3→1→1→1 minimizes the sum.

 分析：題目意思也很簡單，從左上方到右下角，只能往右和下走，要求從找一條路使得路徑上和最小。很明顯使用動態規劃來求解，下面就來做動態規劃三要素：1、dp[i][j]代表走到[i][j]位置路徑和最小的和2、邊界條件初始化：dp[0][0] = grid[0][0]dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]3、狀態轉移方程：可以這麼考慮，因為只能向右向下，因此到第[i][j]位置只能有兩條路，只要找到這兩個路最小的那個就可以了。dp[i][j] = min(dp[i][j-1],dp[i-1][j]) + grid[i][j]所以代碼如下：

 1 class Solution { 2     public int minPathSum(int[][] grid) { 3         int M = grid.length; 4         int N = grid[0].length; 5         int[][] dp = new int[M][N]; 6  7         dp[0][0] = grid[0][0]; 8         for ( int j = 1 ; j < N ; j ++ ) dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]; 9         for ( int i = 1 ; i < M ; i ++ ) dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0];10 11         for ( int i = 1 ; i < M ; i ++ ){12             for ( int j = 1 ; j < N ; j ++ ){13                 dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j],dp[i][j-1]) + grid[i][j];14             }15         }16         return dp[M-1][N-1];17 18     }19 }

  已耗用時間6ms。

這個題目還是比較簡單的，之前面試滴滴也遇到過。上次面試接著又問了一個有深度的問題：現在問題變成從左上方到右下角再回到左上方，要求找這個閉環的路徑和最小值，要求不能有重複。

比如上面的例題，最後應該是找到1→3→1→1→1→2→4→1→1。

正確的思路：正確的理解，相當於從左上方到右下角，找兩個路徑，這兩個路徑和是最小和次小。因此使用四維dp，（i,j）（p,q），每一個狀態轉移的時候都有四個參數要更新。（i,j）用來記錄最小的路徑，（p,q）用來記錄次小的路徑，這裡要注意找次小的時候要去掉最小的路徑。

四維dp是非常麻煩的，下面如何簡化，也就是降維呢？這裡注意到（i,j）（p,q）的關係：i+j==p+q。有了這個關係，就可以把四維dp降到三維dp，相對就比較好做了。

面試應該說出思路就好了，代碼還是太繁瑣了。。。

[leetcode] Minimum Path Sum