leetcode筆記：Permutation Sequence，sequencenumber

leetcode筆記：Permutation Sequence，sequencenumber

一.題目描述

題目的意思是，假設有{1,2,3,4,…,n}，對其中的元素進行排列，總共有n!種組合，將它們從小到大排序，問其中第k個組合的形式是怎樣的？

二.題目分析

方法一：可以一個一個的按次序暴力求解。具體實現可參照題目：Next Permutation。這裡並沒有實現，主要研究的是方法二的Cantor expansion演算法。

方法二：數學解法：Cantor expansion

Cantor expansion演算法的思想是，在n!個排列中，第一位的元素總是(n-1)!一組出現的，也就說如果p = k / (n-1)!，那麼排列的最開始一個元素一定是nums[p]。以下公式給出了全排列到一個自然數的一一雙射：

X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0!

舉個例子：

問1324是{1,2,3,4}排列數中第幾個組合：

第一位是1，小於1的數沒有，是0個，0*3!，第二位是3，小於3的數有1和2，但1已經存在於第一位了，所以只有一個數2，1*2! 。第三位是2小於2的數是1，但1在第一位，所以有0個數，0*1!，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2個，1324是第3個組合。

以上是Cantor編碼的過程，即把一個全排列映射1324為一個自然數3，而該題目是已知一個自然數k，求其對應的全排列，相對以上步驟來說是一個解碼的過程，下面給出一個具體的例子：

如何找出{1,2,3,4,5}的第16個排列？
1. 首先用16-1，得到15；
2. 用15去除4! ，得到0，餘15；
3. 用15去除3! ，得到2，餘3；
4. 用3去除2! ，得到1，餘1；
5. 用1去除1! ，得到1，餘0；
6. 有0個數比它小的數是1，所以第一位是1；
7. 有2個數比它小的數是3，但1已經在之前出現過，所以第二位是4；
8. 有1個數比它小的數是2，但1已經在之前出現過了所以第三位是3；
9. 有1個數比它小的數是2，但1,3,4都出現過了所以第四位是5；
10. 根據上述推論，最後一個數只能是2；

所以排列為{1,4,3,5,2}。

按照以上思路，可以開始設計演算法。

三.範例程式碼

#include <iostream>#include <string>#include <iterator>using namespace std;class Solution{public:    string PermutationSequence(int n, int k)    {        int total = CombinedNumber(n - 1);        if (k > total)        {            cout << "The k is larger then the total number of permutation sequence:" << total << endl;            return "Null!";        }        string a(n, '0');        for (int i = 0; i < n; ++i)            a[i] += i + 1;   // sorted        // Cantor expansion        string s = a, result;        k--; // (k - 1) values are less than the target value         for (int i = n - 1; i > 0; --i)        {            auto ptr = next(s.begin(), k / total);            result.push_back(*ptr);            s.erase(ptr);  // delete the already used number            k %= total;    // update the dividend            total /= i;    // update the divider        }        result.push_back(s[0]);  // The last bit        return result;    }private:    int CombinedNumber(int n)    {        int num = 1;        for (int i = 1; i < n + 1; ++i)            num *= i;        return num;    }};

以下是簡易的測試代碼：

#include "PermutationSequence.h"int main(){    Solution s;    int n = 6, k = 150;    string result = s.PermutationSequence(n, k);    std::cout << "n = " << n << " and the " << k << "th sequence is: " << result << std::endl;    getchar();    return 0;}

一個正確的測試結果，n = 6， k = 16：

當k的取值超過可能的組合數量時：

四.總結

該題應嘗試使用Cantor expansion解法來做，數學的魅力是無窮的。

參考資料：http://www.bianceng.cn/Programming/sjjg/201407/43080.htm

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