[LeetCode] Unique Paths 不同的路徑

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A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked ‘Start‘ in the diagram below).

The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked ‘Finish‘ in the diagram below).

How many possible unique paths are there?

Above is a 3 x 7 grid. How many possible unique paths are there?

Note: m and n will be at most 100.

 

這道題讓求所有不同的路徑的個數，一開始還真把我難住了，因為之前好像沒有遇到過這類的問題，所以感覺好像有種無從下手的感覺。在網上找攻略之後才恍然大悟，原來這跟之前那道 Climbing Stairs 爬梯子問題 很類似，那道題是說可以每次能爬一格或兩格，問到達頂部的所有不同爬法的個數。而這道題是每次可以向下走或者向右走，求到達最右下角的所有不同走法的個數。那麼跟爬梯子問題一樣，我們需要用動態規劃Dynamic Programming來解，我們可以維護一個二維數組dp，其中dp[i][j]表示到當前位置不同的走法的個數，然後可以得到遞推式為: dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，這裡為了節省空間的，我們使用一位元組dp，一行一行的重新整理也可以，代碼如下：

解法一

// DPclass Solution {public:    int uniquePaths(int m, int n) {        vector<int> dp(n, 1);        for (int i = 1; i < m; ++i) {            for (int j = 1; j < n; ++j) {                dp[j] += dp[j - 1];             }        }        return dp[n - 1];    }};

 

這道題其實還有另一種很數學的解法，參見網友Code Ganker的部落格，實際相當於機器人總共走了m + n - 2步，其中m - 1步向下走，n - 1步向右走，那麼總共不同的方法個數就相當於在步數裡面m - 1和n - 1中較小的那個數的取法，實際上是一道組合數的問題，寫出代碼如下:

解法二

class Solution {public:    int uniquePaths(int m, int n) {        double num = 1;        double denom = 1;        int small = m > n ? n : m;        int big = m > n ? m : n;        for (int i = 1; i <= small - 1; ++i) {            num *= m + n - 1 - i;            denom *= i;        }        return (int)(num / denom);    }};

 

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