leetcode327（樹狀數組/歸併排序）

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問題描述：

給定一個整數數組nums，返回其所有落在[low, upper]範圍內（包含邊界）的區間和的數目。
區間和sums(i, j)的定義為所有下標為i到j之間（i ≤ j)的元素的和，包含邊界。

思路：

歸併排序

問題可描述為，對每個sums[i]，滿足lower<=sums[i] - sums[j]<=upper的j的個數，並進行求和。

一個很巧妙的方法是，對sums進行排序得到ocums，然後求ocums[m] - ocums[n] = sums[i] - sums[j]落在上下界的個數，這裡想強調的是ocums[m]，ocums[n]分別對應排序前的sums[i]，sums[j]。 這樣做的好處是排序後求ocums區間內元素個數要方便很多，比如說對ocums[m]，只需找到剛好滿足上界的ocums[y]，和剛好滿足下界的ocums[x]，x-y即為個數（注意ocums是升序的，所以x一定大於y），找到上下界的方法如果不用迴圈線性尋找（就是從小到大一個個試），就可以用演算法複雜度更低的二分尋找，這種思路用于歸並排序。

歸併排序的思路是，把區間劃分為上下兩個半空間ｘ和ｙ，然後對兩個空間的數一個一個取ｘ［ｉ］和ｙ［ｊ］，比較這兩個數，如果ｘ［ｉ］＜ｙ［ｊ］就讓ｉ＋１，否則ｊ＋１，並把較小的數加入到新序列中，這樣實現排序。當前排序的空間是從小到大的，也就是說需要先把區間劃分到最小，然後慢慢合并。

用歸併排序的思路求所有的區間和，就是先把區間ｓｕｍｓ劃分到最小，然後求滿足區間和上下界的個數，然後對區間進行排序，然後合并兩個小區間，求滿足區間和上下界的個數，然後對合并後區間進行排序，然後又合并排序後的兩個區間。。。迴圈下去；從一棵樹的角度來說，就是從根節點開始劃分區間，從最底層的區間開始計算個數並排序，並向上排序，因此這是一個遞迴的過程，求個數的過程是在合并的過程中計算的。

# 歸併排序# 讓人不解的兩個點# 1. 為什麼最小隻劃分區間到兩個數sums[i, i+1]，而不是一個數？# 這是因為操作的對象是和，同時要遵循下半區間減上半區間# 當只有兩個數的時候，實質是看nums[i] = sums[i + 1] - sums[i]是否在上下界內# 最小區間劃分不會重疊，也就不會出現sums[i - 1, i]，那還有一個數nums[i - 1]呢# 這個數會在相鄰兩個最小區間合并的過程中被考慮（想象一棵二分樹）# 2. 對sums進行排序後得到ocums，選擇區間和ocums[i] - ocums[j]在上下界的，這個合理嗎# 問題也說了，區間和就等於sums[m] - sums[n]，本質上還是求源序列的區間和在[m, n]上是否滿足上下界# 這個方法真的很妙啊# 最後要說這個的演算法複雜度是N方的，真不知道怎麼就通過了class Solution(object):    def countRangeSum(self, nums, lower, upper):        """        :type nums: List[int]        :type lower: int        :type upper: int        :rtype: int        """        size = len(nums)        sums = [0] * (size + 1)        for x in range(1, size + 1):            sums[x] += nums[x - 1] + sums[x - 1]        INF = max(sums)        def mergeSort(lo, hi):            if lo == hi: return 0            mi = int((lo + hi) / 2)            cnt = mergeSort(lo, mi) + mergeSort(mi + 1, hi)            x = y = lo            for i in range(mi + 1, hi + 1):                while x <= mi and sums[i] - sums[x] >= lower:                    x += 1                while y <= mi and sums[i] - sums[y] > upper:                    y += 1                cnt += x - y            part = sums[lo : hi + 1]            l, h = lo, mi + 1            for i in range(lo, hi + 1):                x = part[l - lo] if l <= mi else INF                y = part[h - lo] if h <= hi else INF                if x < y: l += 1                else: h += 1                sums[i] = min(x, y)            return cnt        return mergeSort(0, size)nums = [-2, 5, 1, 3, 1, -4, 2]lower = -2upper = 2X =Solution()print(X.countRangeSum(nums, lower, upper))

樹狀數組

還可以對問題就行轉換，即求滿足sums[i] - upper<=sums[j]<=sums[i] - lower的j的個數，最樸素的方法就是對每一個sums[i]遍曆所有的（ｊ，ｊ＜ｉ）

# leetcode 327：求所有區間和在[lower, upper]之間的個數# 解法1 kk...複雜度為N方，逾時了class Solution(object):    def countRangeSum(self, nums, lower, upper):        """        :type nums: List[int]        :type lower: int        :type upper: int        :rtype: int        """        ans = 0        sum = [0 for _ in nums]        for i, num in enumerate(nums):            if i == 0:                sum[i] = num            else:                sum[i] = sum[i - 1] + num            if sum[i] >= lower and sum[i] <= upper:                ans += 1            for j in range(i):                if sum[j] >= (sum[i] - upper) and sum[j] <= (sum[i] - lower):                    ans += 1        return ansnums = [-2, 5, 1, 3, 1, -4, 2]lower = -2upper = 2X =Solution()print(X.countRangeSum(nums, lower, upper))

但用更直白的描述就是，求位於(sums[i] - upper, sums[i] - lower)的sums[j]的個數，希望通過排序知道每個值取了多少次，都排在哪個位置，當然前提是每次排序都只有序列的前ｉ個數。也就是說，對sums[i]求個數的時候，只需把sums[i]的值插入到前面已經排好序的新序列中（這個可以用二分法做）。由於我們的目的是對個數求和，可以讓序列的值為個數，然後序列的索引為sums[i]，這樣，樹狀數組的結構就出來了。

# 基於上一思路，利用樹狀數組來降低複雜度# 同樣是為了求落在區間[sumi - upper, sumi - lower]的sumj的個數，# 前一樸素法是對每個sumi，直接for j in range(0, i)，致使演算法複雜度為O(N^2)# 樹狀數組的思想是先對sums進行去重排序得到長為m的序列，然後構建一個與該序列等長的樹狀數組來記錄每個值出現的次數# 於是，要計算落在區間[sumi - upper, sumi - lower]的sumj的個數，只需對該數組求區間和# 可行性的原因是，在for sumi in sums迴圈中，樹狀數組是隨著sumi不斷產生的，當前樹狀數組只記錄了(x, x<=i)的sumx# 對於每個sumi，演算法複雜度為O(logN)，總的演算法複雜度為O(NlogN)import bisectclass Solution(object):    def countRangeSum(self, nums, lower, upper):        """        :type nums: List[int]        :type lower: int        :type upper: int        :rtype: int        """        ans = 0        sums = [0 for _ in nums]        for i, num in enumerate(nums):            if i == 0:                sums[i] = num            else:                sums[i] = sums[i - 1] + num        oscums = sorted(set(sums))        ft = FenwickTree(len(oscums))        for sumi in sums:            left = bisect.bisect_left(oscums, sumi - upper)            right = bisect.bisect_right(oscums, sumi - lower)            ans += ft.getSum(right) - ft.getSum(left) + (lower <= sumi <= upper)            ft.add(bisect.bisect_right(  oscums, sumi), 1)        return ansclass FenwickTree(object):    def __init__(self, n):        # n 為數組的長度        self.n = n        self.c = [0 for _ in range(n + 1)]    def lowBit(self, x):        return x & (x ^ (x - 1))    def add(self, i, val):        while i <= self.n:            self.c[i] += val            i += self.lowBit(i)    def getSum(self, i):        sum = 0        while i > 0:            sum += self.c[i]            i -= self.lowBit(i)        return sumnums = [-2, 5, -1]lower = -2upper = 2X =Solution()print(X.countRangeSum(nums, lower, upper))

 參考博文：

http://bookshadow.com/weblog/2016/01/11/leetcode-count-of-range-sum/

leetcode327（樹狀數組/歸併排序）