LeetCode#53 Maximum Subarray

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Problem Difinition:

Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.

For example, given the array [−2,1,−3,4,−1,2,1,−5,4],
the contiguous subarray [4,−1,2,1] has the largest sum = 6.

More practice:

If you have figured out the O(n) solution, try coding another solution using the divide and conquer approach, which is more subtle.

Solution:

1）動態規劃.

輸入數組為nums，用 a[i] 表示nums[0...i]這部分元素的子序列（此子序列以元素nums[i]結尾，不管它以誰開頭）能得到的最大累加和。則有遞推關係：

a[ i ] =nums[ i ]+ ( a[i-1] if a[i-1]>0 else 0)

求解過程就是迭代整個數組，求最大的a[ i ]。可以用一個數組來儲存所有的a[ i ]，空間複雜度O(n)。

然而實際上不需要一個數組來存放所有的a[ i ]，而用一個變數代替。

 1     # @param {integer[]} nums 2     # @return {integer} 3     def maxSubArray(nums): 4          5         maxSum=-sys.maxint 6         sm=0 7         begin=0 8         end=0 9         maxBegin=010         maxEnd=011         for i, n in enumerate(nums):12             sm+=n13             if sm>maxSum:14                 maxSum=sm15                 maxBegin=begin16                 maxEnd=end17             if sm<=0:18                 begin=i+119                 end=i+120                 sm=021             else:22                 end+=123         return nums[maxBegin: maxEnd+1]

以上演算法會求出得到最大和的完整子序列，更通用，思路也表達得比較清晰。然而題目的要求只是求出這個最大和，所以可以精簡很多：

 1     # @param {integer[]} nums 2     # @return {integer} 3     def maxSubArray(nums): 4         maxSum=-sys.maxint 5         sm=0 6         for n in nums: 7             sm+=n 8             maxSum=max(maxSum, sm) 9             sm=max(sm, 0)10         return maxSum

實際上想法很簡單，逐一累加元素，一旦和不大於0，則從下一個位置開始，重新累加，並在這個過程中不斷更新最大和。

 

2）分治。

基本思想：

  1._分。把數組切成左右兩部分，那麼給出最大累加和的子序列，要麼全在左邊，要麼全在右邊，要麼就橫跨左右兩邊（子序列包含了中間元素）

  2._合。整個數組的最大累加和就是max(左邊的最大和， 右邊的最大和， 跨越兩邊的最大和)

   　　　 於是可以：a.先分別求左右兩個部分的最大累加和，這是一個遞迴的過程；

　　　　　　　　　 b.求跨越左右兩邊的子序列能夠給出的最大累加和；

　　　　　　　　　 c.返回三個和中的最大值，作為整個序列的最大累加和。

　　　　關鍵是b.過程。其實也很簡單，以中間元素為起點，分別向左右兩邊擴充，求出在左邊子序列中，尾碼序列能達到的最大累加和；以及

　　　　右邊序列中，首碼序列能達到的最大累加和，這倆累加和加起來即可。

　　　　設中間節點的下標為m，那所謂的左邊子序列的尾碼就是：nums[...m-2, m-1, m]，右邊子序列的首碼就是nums[m+1, m+2...].

　　　　

 1     # @param {integer[]} nums 2     # @return {integer} 3     def maxSubArray(self, nums): 4         if len(nums)==0: 5             return 0 6         return self.recur(nums, 0, len(nums)-1) 7  8  9     def recur(self, nums, start, end):10         if start==end:  #one element11             return nums[start]12         mid=(start+end)/213         leftAns=self.recur(nums, start, mid)14         rightAns=self.recur(nums, mid+1, end)15         leftMax=nums[mid]16         rightMax=nums[mid+1]17         tmp=018         for i in range(mid, start-1, -1):  #直接加到最後吧19             tmp+=nums[i]20             leftMax=max(leftMax, tmp)21         tmp=022         for i in range(mid+1, end+1):23             tmp+=nums[i]24             rightMax=max(rightMax, tmp)25         return max(leftAns, rightAns, leftMax+rightMax)

 

 

 

 

 

LeetCode#53 Maximum Subarray