字典序問題-遞迴與分治

1.何謂字典序問題

何謂字典序？我們拿3個數（1,2,3）來講述。

字典序值	0	1	2	3	4	5
排列	123	132	213	231	312	321

3個數的全排列情況有有3!種情況，字典序即從小到大的順序。按字典序給所有的情況從小到大排列，最小的設字典序值為0。

字典序問題是，隨意給出一個序列，要求求出該序列的字典序值。比如說給出序列231，我們要設計演算法返回3。一個延伸的問題是如果該序列不是最大序列，求出該序列的後一個序列。

2.如何求字典序值

從上面的簡例看出，想求得給定序列的字典序值，我們要先求得該序列前面存在多少個序列。這可以通過從高位開求統計比該序列位小的序列數目求得。

對於序列231，n=3，前面的序列數可以通過百位2、十位3求得，即為:

1*(n-1)!+1*(n-2)!=3，

我們就知道231的字典序值為3。

對於序列453261，n=6，前面的序列數可以通過高5位求得，即為:

3*(n-1)!+3*(n-2)!+2*(n-3)!+1*(n-4)!+1*(n-5)!=447,

同樣，我們知道453261的字典序值為447。

3.如何求得下個序列

我們知道，如果題目所給序列是最大序列，即其字典序值為n!，則沒有下一個序列；否則，要求下個序列。下個序列的求解也有規律可循的。

求下個序列，可以從低位逐個往高位看。只要相鄰的兩個數高位比低位還小，從低位到高位出現了降序排列，則我們停下來分析。

例如，對於序列453612，1比2小，出現降序，所以停下來分析。我們可以肯定下一個序列高位和本序列一樣，低位序列是比12剛剛大的序列。目測可以得到下一個序列低位為21，即max{1,2}放在低位的最高位，低位中剩下的元素按升序排列。

再拿一個例子來說明。對於序列536421，直到遍曆到3比6小時才停下來。我們得到高位序列為5，低位序列為36421。對於低位序列36421，我們把次高位放到最高位上，剩下的元素按增序排列，即可得到序列61234。61234是否是36421的下一個序列？很顯然是的。