LightOJ 1356 && LightOJ 1336__數學

LightOJ 1356

如果把不獨立的兩個數a和b建立關係，那麼問題就是找到一個最大的集合，使得集合中的任意兩個數不相關，這有點像二分圖中最大獨立集的概念。

然後問題就是建立二分圖。如果兩個數a和b相關，即存在一個素數k使得a=b*k，如果對a和b做質因子分解，它們質因子的個數一定是一奇一偶，因為a比b多一個質因子k。那麼我們就可以用質因子個數的奇偶性來建二分圖。

前段時間的編程之美中有一題就是以這題為原題

<span style="font-size:18px;">//      whn6325689//Mr.Phoebe//http://blog.csdn.net/u013007900#include <algorithm>#include <iostream>#include <iomanip>#include <cstring>#include <climits>#include <complex>#include <fstream>#include <cassert>#include <cstdio>#include <bitset>#include <vector>#include <deque>#include <queue>#include <stack>#include <ctime>#include <set>#include <map>#include <cmath>#include <functional>#include <numeric>#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")using namespace std;typedef long long ll;typedef long double ld;typedef pair<ll, ll> pll;typedef complex<ld> point;typedef pair<int, int> pii;typedef pair<pii, int> piii;typedef vector<int> vi;#define CLR(x,y) memset(x,y,sizeof(x))#define mp(x,y) make_pair(x,y)#define pb(x) push_back(x)#define lowbit(x) (x&(-x))#define MID(x,y) (x+((y-x)>>1))#define speed std::ios::sync_with_stdio(false);#define eps 1e-9#define PI acos(-1.0)#define INF 0x3f3f3f3f#define LLINF 1LL<<62template<class T>inline bool read(T &n){    T x = 0, tmp = 1;    char c = getchar();    while((c < '0' || c > '9') && c != '-' && c != EOF) c = getchar();    if(c == EOF) return false;    if(c == '-') c = getchar(), tmp = -1;    while(c >= '0' && c <= '9') x *= 10, x += (c - '0'),c = getchar();    n = x*tmp;    return true;}template <class T>inline void write(T n){    if(n < 0)    {        putchar('-');        n = -n;    }    int len = 0,data[20];    while(n)    {        data[len++] = n%10;        n /= 10;    }    if(!len) data[len++] = 0;    while(len--) putchar(data[len]+48);}//-----------------------------------]const int MAXN=500010;int n,a[40010],pos[MAXN];int is[MAXN],prime[45000],cnt;int p[40010],num[40010];struct Edge{int to,next;}e[80010];int head[40010],tot;void addedge(int u,int v){e[tot].to=v;e[tot].next=head[u];head[u]=tot++;}int cx[40010],cy[40010];  int dx[40010],dy[40010];  int dis;bool bfs()  {      dis = INF;      CLR(dx,-1);      CLR(dy,-1);      queue <int> Q;      for(int i=1; i<=n; i++)      {          if(cx[i]==-1 && (num[i]&1))          {              Q.push(i);              dx[i]=0;          }      }      while(!Q.empty())      {          int u=Q.front(); Q.pop();          if(dx[u] > dis)              break;          for(int i=head[u]; ~i; i=e[i].next)          {              int v=e[i].to;              if(dy[v]==-1)              {                  dy[v]=dx[u]+1;                  if(cy[v]==-1)                    dis = dy[v];                 else                  {                      dx[cy[v]]=dy[v]+1;                      Q.push(cy[v]);                  }              }          }      }      return dis != INF;  }    bool dfs(int u)  {      for(int i=head[u]; ~i; i=e[i].next)      {          int v=e[i].to;          if(dy[v]==dx[u]+1)          {              dy[v]=0;              if(cy[v]==-1 || dfs(cy[v]))              {                  cx[u]=v;                  cy[v]=u;                  return true;              }          }      }      return false;  }  int match()  {      int ans=0;      CLR(cx,-1);      CLR(cy,-1);      while(bfs())      {          for(int i=1; i<=n; i++)              if(cx[i]==-1 && (num[i]&1) && dfs(i))                  ans++;      }      return ans;  }  void init(){for(int i=2;i<MAXN;i++){if(is[i])continue;prime[cnt++]=i;for(int j=i+i;j<MAXN;j+=i)is[j]=1;}}int main(){//freopen("data.txt","r",stdin);init();int T,cas=1;read(T);while(T--){CLR(head,-1);tot=0;CLR(pos,0); read(n);for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i]);sort(a+1,a+n+1);for(int i=1;i<=n;i++)pos[a[i]]=i;for(int i=1; i<=n; i++)          {              int x=a[i];              int sum=0,sum2=0;              for(int j=0; j<cnt && prime[j]*prime[j]<=x; j++)              {                  if(x%prime[j]==0)                  {                      p[sum++]=prime[j];                      while(x%prime[j]==0)                      {                          x/=prime[j];                          sum2++;                      }                  }              }              if(x>1)              {                  p[sum++]=x;                  sum2++;              }              num[i]=sum2;             for(int j=0; j<sum; j++)              {                  int temp=pos[a[i]/p[j]];                  if(temp>i)                      continue;                  if(temp)                  {                      if((sum2&1)==(num[temp]&1))                          continue;                                 if((sum2&1))                          addedge(i,temp);                      else                          addedge(temp,i);                  }              }          }        int ans=match();          printf("Case %d: %d\n",cas++,n-ans);  }return 0;} </span>

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可以計算有多少個σ(x)為奇數，用n減去就好了。題目中給出了提示σ(n)可以寫成

其中單獨的一項，是等比數列求和的公式。如果要求σ(n)為奇數，那公式中的每一項乘數都得是奇數。

對於其中的第i項乘數f(i)=pi^0+pi^1+…+pi^ei.

pi是分解之後的質數
當pi=2時，f(i)一定是奇數。
當pi!=2時，由於pi是奇數，只有當ei為偶數時，才能保證f(i)為奇數。

所以，當所有的σ(x)為奇數時，x只有兩種情況：
1、所有的ei都為偶數，x就一定是平方數。
2、除了素因子2的指數為奇數外，所有的ei都為偶數，x就一定是平方數的2倍。

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