極限和連續 limits + Continue

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上一節我們將導數定義為切線的斜率，這是一種幾何解釋。我們求出了1/x的斜率為 -1/x2 求出了 f(x) = xn 的斜率是 f”(x) = n*xn-1  這些幾何的推導都是根據y-y0  = k * ( x - x0 ).得來的。

這一節我們重新審視 何是導數？我們將導數定義為變動率。當做圖  y = f（x）的時候我們可以從變動率的角度而言記錄x以及y的變化。也就是記錄了平均相對變動率 => Δx/Δy，這是一種平均變化。 通常我們可以將x當成時間，這時候y就可以當成另一種變化量。這時候其極限（Δx -> 0）就可以表示為 dy/dx。因此前面的是平均變動率，這個是瞬時變動率。這裡我們舉兩個栗子（關於變動率的栗子）：

　　　　　　　　

先說第二個，這個比較簡單，主要用了高中物理 h= g*t2 + v*t.  假設一個人站在教學樓上面向一片草地上扔一個南瓜（Pumpkin drop 南瓜墜遊戲），樓的高度為80m ， 由此可得高度隨時間的變化公式為 h = 80 - 5*t2 所以當 t = 0 則 h = 80。當t = 4 則 h =0 所以Ave speed ： Δh/Δt = (0-8)/(4-0) 這個是平均速度 下面我們講一下瞬時速度。 dh/dt = 我們可以根據上一節我們得到的公式 (xn )” = n*xn-1  來對這個公式進行求導。dh/dt = 0 - 10*t . 所以當t = 0 則 h“ = 0，當t = 4 則h” =40 。 所以當落地的時候速度為40。這是平均速度的二倍。

 下面說第三個例題。

T = temperature    dt/dx = temperature-gradient 溫度梯度

 下面說第四個 sensitivity of measurement 測量靈敏度

 

上述就是導數的介紹，導數的介紹到這裡也就完了。

 

下面開始對導數進行詳細的介紹。

簡單的極限如下： 十分簡單，這個是簡單極限。

 

左極限和右極限。

（圖中和y軸相交的兩點需要用一個園擴起來，表示不包含這一點。）對這一題進行求左右極限得 ：  求極限不需要知道 x = 0的值 。

 

 下面我們定義什麼是連續。

   如果X0需要滿足連續條件的化，則他需要滿足一下幾個條件。

 1：極限必須存在。在上例中就是當 x = 0 的時候 f（x）必須由確定的值。

 2：左右極限必須相等，上一個例題就不符合這一點。

 

下面看一些不連續的函數。

　間斷跳躍

　　　　1：左右極限均存在但是不相等。就是我們上面的那個栗子。

　可去間斷

　　　　1：左右極限存在且相等 

 一條直線的中間有一個洞。丟的那一點可能在那個洞的正上，下方。當我們重新定義這一點的時候，直線可以連續，所以這就是可去間斷點。 。

開始舉栗子：

h(x) =sin ( x ) / x 的圖形如下。 通過圖形可得   當 x = 0 的時候 該點是沒有對應的值得 。 這兩個都是 “ 可去間斷點 ” 。

 

無窮間斷

y = 1/x 的圖形 這裡要分左右連續。我們可以得到他的左右極限為： 如果我們部分左右極限直接讓他為正無窮或者負無窮的化，這是十分扯淡的盲人摸象。

 

其他（醜陋）間斷。

　　y = sin（1/x）他沒有極限屬於其他間斷。

定理：可導必連續，若f在x處可導，那麼該映像在x處必然連續。

 對其進行證明假設f（x）在x0處可導那麼問其是否連續。

　　    f(x0) = (f(x)-f(x0))/(x-x0)

 

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