直線，折線，曲線分割平面以及平面分割空間問題

摘自

http://www.cnblogs.com/chaosheng/archive/2012/01/26/2329583.html

(1) n條直線最多分平面問題 題目大致如:n條直線，最多可以把平面分為多少個地區。

析:可能你以前就見過這題目，這充其量是一道初中的思考題。

但一個類型的題目還是從簡單的入手，才容易發現規律。

當有n-1條直線時，平面最多被分成了f（n-1）個地區。

則第n條直線要是切成的地區數最多，就必須與每條直線相交且不能有同一交點。

這樣就會得到n-1個交點。這些交點將第n條直線分為2條射線和n-2條線斷。

而每條射線和線斷將以有的地區一分為二。這樣就多出了2+（n-2）個地區。

故：f(n)=f(n-1)+n

             =f(n-2)+(n-1)+n ……

            =f(1)+1+2+……+n

           =n(n+1)/2+1

(2) 折線分平面（hdu2050）

根據直線分平面可知，由交點決定了射線和線段的條數，進而決定了新增的地區數。當n-1條折線時，地區數為f（n-1）。

為了使增加的地區最多，則折線的兩邊的線段要和n-1條折線的邊，即2*（n-1）條線段相交。那麼新增的線段數為4*（n-1），射線數為2。

但要注意的是，折線本身相鄰的兩線段只能增加一個地區。

故：f(n)=f(n-1)+4(n-1)+2-1

              =f(n-1)+4(n-1)+1

             =f(n-2)+4(n-2)+4(n-1)+2 ……

            =f(1)+4+4*2+……+4(n-1)+(n-1)

            =2n^2-n+1

(3) 封閉曲線分平面問題 題目大致如設有n條封閉曲線畫在平面上，而任何兩條封閉曲線恰好相交於兩點，

且任何三條封閉曲線不相交於同一點，問這些封閉曲線把平面分割成的地區個數。

 析：當n-1個圓時，地區數為f(n-1).那麼第n個圓就必須與前n-1個圓相交，則第n個圓被分為2（n-1）段線段，增加了2（n-1）個地區。

 故： f(n)=f(n-1)+2(n-1)

                =f(1)+2+4+……+2(n-1)

               =n^2-n+2

 (4)平面分割空間問題（hdu1290） 由二維的分割問題可知，平面分割與線之間的交點有關，即交點決定射線和線段的條數，從而決定新增的地區數。

 試想在三維中則是否與平面的交線有關呢？當有n-1個平面時，分割的空間數為f（n-1）。

要有最多的空間數，則第n個平面需與前n-1個平面相交，且不能有共同的交線。

即最多有n-1 條交線。而這n-1條交線把第n個平面最多分割成g（n-1）個地區。

（g（n）為（1）中的直線分平面的個數）此平面將原有的空間一分為二，則最多增加g（n-1）個空間。

故：f=f(n-1)+g(n-1)

     ps:g(n)=n(n+1)/2+1

                 =f(n-2)+g(n-2)+g(n-1) ……

                =f(1)+g(1)+g(2)+……+g(n-1)

                =2+(1*2+2*3+3*4+……+(n-1)n)/2+（n-1）

               =(1+2^2+3^2+4^2+……+n^2-1-2-3-……-n )/2+n+1

              =(n^3+5n)/6+1