線段樹（1）

給定一段區間和若干查詢關於子區間性質（比如元素總和，最大最小值等等）的請求，要求高效返回結果是很常見的要求。接下來幾篇文章我詳細說一說應對這些需求所用的資料結構。

從求子區間元素和問題說起。給定序列a[1...n],要求從sum(i,j) = a[i]+a[i+1]+...+a[j]很簡單，一個迴圈就可以了。但如果很多個查詢過來，每次都迴圈一遍就太低效了。我們希望能對結果進行緩衝，如果有相同的查詢可以直接得到結果，至少能利用之前已經算出的值減少計算量（比如求sum(1,10)，之前已經算出sum(1,5)和sum(6,10)就可以直接把它們加起來返回），這就要求把區間分割分成大小不一的子區間，並形成某種層次關係，每個子區間記錄自己的總和，查詢時把目標區間分成已知子區間的並;為了查詢的高效，分解的層數要儘可能少，達到lg(n)級，這實際就是動態規劃的一種應用。不同的分解方式就產生了不同的資料結構，這一節先說線段樹。

線段樹的分法是把區間[a,b]不斷二分，直到長度為1，[1,5]的分解結果如下。

易知，線段樹必是一棵完全二叉樹（即非葉結點必有兩孩子），葉結點個數為區間長度L，總結點為2L-1個，高度O(lgL)，可以把它高效地存在數組裡面。再有，給定一個區間[a,b],可以把它分解為不超過2lg(b-a)個子區間的並（用歸納法不難證）,比如[2,5]可分解為[2,2],[3,3],[4,5]。這就意味著，對某個區間的查詢和修改可以在O(lgn)的時間完成。

線段樹的用途，可以是上面提到的求任意子區間和。但由於線段樹劃分區間的特性，只要所求的資訊能夠方便地用兩段子區間資訊加以組合得出，就可以用線段樹，只需要在每個結點處附加一些額外資訊。下面舉幾個例子。

1、區間染色問題 POJ 2528

題目大意是，有長度為L(1<=L<=10000000)的一條木板，操作n(1<=O<=10000)次,每次把它的一部分[a,b]貼上海報，問最後至少有一部分露在外面的海報有多少張。

最簡單的方法是FloodFill,開一個長度為L的數組，每次操作都把[a,b]之內的值改為海報的編號，最後統計不同的編號個數。但是L太大，數組開不了那麼大，所幸n很小，因此涉及的座標最多有20000個，可以只開20000的數組，把原本的座標映射到新座標上去（所謂“離散化”）。但這樣最壞情況複雜度還是O(n^2)比較大。用線段樹怎麼做呢？

容易想到，給每個結點加上額外的域，記錄這個區間被染成什麼顏色，-1表示未染色。還是以區間[1,5]為例，假設我們要[1,4]染成1號顏色，很簡單，找到[1,3],[4,4]標記為1就行了。如下

這就是懶操作。對[1,4]的染色可以不對1...4個每個值都進行修改，只需要在父區間記錄整個區間的資訊就可以了。但這樣有一個問題，假設要把[2,3]染成2號顏色該如何處理？

[2,3]分成[2,2]和[3,3],當然要把它們標記成2,但[1,3]已經不全是1號顏色了，應該標記成-1，這可以在從樹根向下搜尋的過程順便完成。但是區間[1,1]的確還是1號顏色，該把它標記成1，感覺有些繁.解決方案是標記下推。在對[1,3]修改之前把它的標記轉移到它的兩個子結點中，然後標記為-1。至於兩子結點最終是什麼顏色，在遞迴插入的過程是就處然處理好了，過程如下：

把[1,3]標記下推	插入[3,3]	插入[2,2]時，把[1,2]標記下推	插入[2,2]完成

最後如何統計可以的編號？從根開始。如果當前結點標記不是-1，說明整個區間都是一種顏色，雖然它的子結點可能標記了其它色，但都無關緊要，因為都已經被覆蓋掉了。如果是-1，再遞迴地統計兩個子結點即可。

分析完成。這種染色常擴充到二維矩形，基本還是離散化+二維線段樹，以後再說。

參考代碼

2、區間和問題 POJ2750

大意是長度為n（小於100000）的一個環，可以任意更改某個值的大小，要求每次修改後都輸出當前環中最大的連續子序列和，要求這個子序列不能是整個環。共修改m次（也小於100000）。

先處理環的問題。把環切開，可以構成0,1,...,n-1的數組。如果子序列完全在[0,n-1]之間就容易了。問題是它可能跨越邊界，分成[0,i],[j,n-1]的兩段。這種情況下，[i+1,j-1]的和必定是最小連續序列和，這樣剩下的才能最大，用序列總和減掉就能得到最大和。可以發現，線段樹的結點[a,b]要維護3個主要資訊，[a,b]的總和，最小連續和，最大連續和。

接下來是如何從兩個子區間的資訊獲得父區間的資訊。總和容易，簡單加一下就好。最大連續和呢？取子區間的較大者？顯然不行。比如兩個子區間{4,3,-1000,5},{5,-1000,3 4}，最大連續和都是7，但合起來最大連續和是10.關鍵在於拼接的地方可能產生更大的和。因此還需要記錄從區間左端和右端開始分別取得的最大連續和lmax,rmax是多少,比較left_child->rmax,right_child->lmax,left_child->max_sum,right_child->max_sum取較大者。最小連續和也是如此。這樣區間資訊的維護就簡單了。

對於修改操作，還是遞迴。從根結點開始。如果到達葉結點，修改後返回;否則讓子結點先修改，再根據修改後的子結點更新自己的資訊。

最後，如果根結點的最大連續和是整個環的總和，根據題目要求是不行了，這時減掉最小連續和就行了。

參考代碼

3、順序統計問題 POJ 2828

順序統計是很廣泛的一類問題。由於線段樹結點的有序性，在結點中附加子樹元素個數可以方便地實現順序統計。比如O(nlgn)的計算逆序對（其實這種方法用二叉搜尋樹的變形順序統計樹更好，演算法導論上有），另一種類似歸併排序的分治法大家都會。這裡要說的問題很有意思。

題目是說買火車票經常有人插隊。假設現在一個人都沒有，給出n（可達200000）個人的入隊情況，a b表示編號為b的人插到了當前第a個人後面，求出最後隊伍的排列。

n較小的話，用鏈表是很方便的。瓶頸在於要找到隊伍的第i個人不得不從鏈表開始搜尋，很慢。可以想到把鏈表變成二維形成二叉樹的結構，每個結點記錄以它為根的子樹有多少元素，這樣找第i個元素就是O(lgn)。舉例如下，結點左邊的值表示人的編號，右邊表示子樹大小。假如有人插隊到第5個人後面，可以發現，根結點的左子樹有3個人，加上根結點自己有4個人，新來的人必定要插入到右子樹中。基本思想就是這樣，不是本文重點，不再細說。

不幸的是，直接用這種方法寫順序統計樹逾時了。究其原因，二叉樹可能非常不平衡，很容易構造資料使它變成一條鏈，只有使用平衡二叉樹才行，無論哪一種寫起來都很麻煩。線段樹本身就是平衡的，但直接用線段樹不容易，因為線段樹要求已經插入的元素不能再改位置，顯然不合要求。

換個方向想，如果反著插的話，最後的插入的人位置肯定是固定的。這樣可以給之前存在的人留下空位，插到第i個人後面等價於插到第i個空位後面。這樣每個人插入後位置就固定了。只需要維護當前區間有多少個空位就行。

參考代碼

這三種應該是線段樹最常用的用途，當然它的變體非常多，不好完善總結，可以多到網上找一些題看看。

下一節講線段樹的簡化版，樹狀數組

NPBool原創，轉載請註明。

給定一段區間和若干查詢關於子區間性質（比如元素總和，最大最小值等等）的請求，要求高效返回結果是很常見的要求。接下來幾篇文章我詳細說一說應對這些需求所用的資料結構。

從求子區間元素和問題說起。給定序列a[1...n],要求從sum(i,j) = a[i]+a[i+1]+...+a[j]很簡單，一個迴圈就可以了。但如果很多個查詢過來，每次都迴圈一遍就太低效了。我們希望能對結果進行緩衝，如果有相同的查詢可以直接得到結果，至少能利用之前已經算出的值減少計算量（比如求sum(1,10)，之前已經算出sum(1,5)和sum(6,10)就可以直接把它們加起來返回），這就要求把區間分割分成大小不一的子區間，並形成某種層次關係，每個子區間記錄自己的總和，查詢時把目標區間分成已知子區間的並;為了查詢的高效，分解的層數要儘可能少，達到lg(n)級，這實際就是動態規劃的一種應用。不同的分解方式就產生了不同的資料結構，這一節先說線段樹。

線段樹的分法是把區間[a,b]不斷二分，直到長度為1，[1,5]的分解結果如下。

易知，線段樹必是一棵完全二叉樹（即非葉結點必有兩孩子），葉結點個數為區間長度L，總結點為2L-1個，高度O(lgL)，可以把它高效地存在數組裡面。再有，給定一個區間[a,b],可以把它分解為不超過2lg(b-a)個子區間的並（用歸納法不難證）,比如[2,5]可分解為[2,2],[3,3],[4,5]。這就意味著，對某個區間的查詢和修改可以在O(lgn)的時間完成。

線段樹的用途，可以是上面提到的求任意子區間和。但由於線段樹劃分區間的特性，只要所求的資訊能夠方便地用兩段子區間資訊加以組合得出，就可以用線段樹，只需要在每個結點處附加一些額外資訊。下面舉幾個例子。

1、區間染色問題 POJ 2528

題目大意是，有長度為L(1<=L<=10000000)的一條木板，操作n(1<=O<=10000)次,每次把它的一部分[a,b]貼上海報，問最後至少有一部分露在外面的海報有多少張。

最簡單的方法是FloodFill,開一個長度為L的數組，每次操作都把[a,b]之內的值改為海報的編號，最後統計不同的編號個數。但是L太大，數組開不了那麼大，所幸n很小，因此涉及的座標最多有20000個，可以只開20000的數組，把原本的座標映射到新座標上去（所謂“離散化”）。但這樣最壞情況複雜度還是O(n^2)比較大。用線段樹怎麼做呢？

容易想到，給每個結點加上額外的域，記錄這個區間被染成什麼顏色，-1表示未染色。還是以區間[1,5]為例，假設我們要[1,4]染成1號顏色，很簡單，找到[1,3],[4,4]標記為1就行了。如下

這就是懶操作。對[1,4]的染色可以不對1...4個每個值都進行修改，只需要在父區間記錄整個區間的資訊就可以了。但這樣有一個問題，假設要把[2,3]染成2號顏色該如何處理？

[2,3]分成[2,2]和[3,3],當然要把它們標記成2,但[1,3]已經不全是1號顏色了，應該標記成-1，這可以在從樹根向下搜尋的過程順便完成。但是區間[1,1]的確還是1號顏色，該把它標記成1，感覺有些繁.解決方案是標記下推。在對[1,3]修改之前把它的標記轉移到它的兩個子結點中，然後標記為-1。至於兩子結點最終是什麼顏色，在遞迴插入的過程是就處然處理好了，過程如下：

把[1,3]標記下推	插入[3,3]	插入[2,2]時，把[1,2]標記下推	插入[2,2]完成

最後如何統計可以的編號？從根開始。如果當前結點標記不是-1，說明整個區間都是一種顏色，雖然它的子結點可能標記了其它色，但都無關緊要，因為都已經被覆蓋掉了。如果是-1，再遞迴地統計兩個子結點即可。

分析完成。這種染色常擴充到二維矩形，基本還是離散化+二維線段樹，以後再說。

參考代碼

2、區間和問題 POJ2750

大意是長度為n（小於100000）的一個環，可以任意更改某個值的大小，要求每次修改後都輸出當前環中最大的連續子序列和，要求這個子序列不能是整個環。共修改m次（也小於100000）。

先處理環的問題。把環切開，可以構成0,1,...,n-1的數組。如果子序列完全在[0,n-1]之間就容易了。問題是它可能跨越邊界，分成[0,i],[j,n-1]的兩段。這種情況下，[i+1,j-1]的和必定是最小連續序列和，這樣剩下的才能最大，用序列總和減掉就能得到最大和。可以發現，線段樹的結點[a,b]要維護3個主要資訊，[a,b]的總和，最小連續和，最大連續和。

接下來是如何從兩個子區間的資訊獲得父區間的資訊。總和容易，簡單加一下就好。最大連續和呢？取子區間的較大者？顯然不行。比如兩個子區間{4,3,-1000,5},{5,-1000,3 4}，最大連續和都是7，但合起來最大連續和是10.關鍵在於拼接的地方可能產生更大的和。因此還需要記錄從區間左端和右端開始分別取得的最大連續和lmax,rmax是多少,比較left_child->rmax,right_child->lmax,left_child->max_sum,right_child->max_sum取較大者。最小連續和也是如此。這樣區間資訊的維護就簡單了。

對於修改操作，還是遞迴。從根結點開始。如果到達葉結點，修改後返回;否則讓子結點先修改，再根據修改後的子結點更新自己的資訊。

最後，如果根結點的最大連續和是整個環的總和，根據題目要求是不行了，這時減掉最小連續和就行了。

參考代碼

3、順序統計問題 POJ 2828

順序統計是很廣泛的一類問題。由於線段樹結點的有序性，在結點中附加子樹元素個數可以方便地實現順序統計。比如O(nlgn)的計算逆序對（其實這種方法用二叉搜尋樹的變形順序統計樹更好，演算法導論上有），另一種類似歸併排序的分治法大家都會。這裡要說的問題很有意思。

題目是說買火車票經常有人插隊。假設現在一個人都沒有，給出n（可達200000）個人的入隊情況，a b表示編號為b的人插到了當前第a個人後面，求出最後隊伍的排列。

n較小的話，用鏈表是很方便的。瓶頸在於要找到隊伍的第i個人不得不從鏈表開始搜尋，很慢。可以想到把鏈表變成二維形成二叉樹的結構，每個結點記錄以它為根的子樹有多少元素，這樣找第i個元素就是O(lgn)。舉例如下，結點左邊的值表示人的編號，右邊表示子樹大小。假如有人插隊到第5個人後面，可以發現，根結點的左子樹有3個人，加上根結點自己有4個人，新來的人必定要插入到右子樹中。基本思想就是這樣，不是本文重點，不再細說。

不幸的是，直接用這種方法寫順序統計樹逾時了。究其原因，二叉樹可能非常不平衡，很容易構造資料使它變成一條鏈，只有使用平衡二叉樹才行，無論哪一種寫起來都很麻煩。線段樹本身就是平衡的，但直接用線段樹不容易，因為線段樹要求已經插入的元素不能再改位置，顯然不合要求。

換個方向想，如果反著插的話，最後的插入的人位置肯定是固定的。這樣可以給之前存在的人留下空位，插到第i個人後面等價於插到第i個空位後面。這樣每個人插入後位置就固定了。只需要維護當前區間有多少個空位就行。

參考代碼

這三種應該是線段樹最常用的用途，當然它的變體非常多，不好完善總結，可以多到網上找一些題看看。

下一節講線段樹的簡化版，樹狀數組

NPBool原創，轉載請註明。