線性代數：第三章 矩陣的初等變換與線性方程組（2）線性方程組的解 初等方陣_線性代數

第三節　線性方程組的解 一. 數學概念

根據矩陣的乘法，可以將線性方程組寫成矩陣形式。

1. n元齊次線性方程組  ；

2. n元非齊次線性方程組  ；

3. 稱A為方程組的係數矩陣，B=(A，b)為非齊次線性方程組的增廣矩陣。 二．原理、公式和法則

定理3.1  n元齊次線性方程組  有非零解的充分必要條件的係數矩陣A的秩

R(A)<n。

定理3.2  n元非齊次線性方程組  有解的充分必要條件的係數矩陣A的秩等於增廣矩陣B=(A，b)的秩。

顯然定理3.1是判斷齊次線性方程組有什麼樣解的問題，而定理3.2是用來判斷非齊次線性方程組有沒有解的問題。 三. 重點、痛點分析

本節的重點是會用定理3.1、3.2判定齊次線性方程組有怎樣解和非齊次線性方程組有沒有解。痛點的如何求出方程組的解和怎樣深刻理解定理3.1、3.2的證明。定理的證明雖然簡單明了，但用前面已學過的許多知識，並且方法獨特，不易掌握和理解。 四. 典型例題

例1 求解齊次線性方程組

  

解：對係數矩陣A施行初等行變換為行最簡形矩陣：

即得與方程組同解的方程組

由此即得

令  ，把它寫成通常的參數形式

    

其中  為任意實數，或寫成向量形式

  

例2. 設有線性方程組

問  取何值時，此方程組(1)有唯一解；(2)無解；(3)有無限多個解。並在有無限多解時求其通解。

解：對增廣矩陣B=(A，b)作初等行變換把它變為行階梯形矩陣，有

      

當  時，R(A)= R(B)=3，方程組有唯一解；

當  時，R(A)=1， R(B)=2，方程組無解；

當  時，R(A)= R(B)=2，方程組有無限多個解，

當  時，

    

由此便得通解

    

即

     

通過上面的執行個體，我們可知對於齊次線性方程組，只須把它的係數矩陣化為行最簡形矩陣，找出與原方程組等價的線性方程組，便能寫出通解。對於非齊次線性方程組，只須把它  增廣矩陣化成行列階梯矩陣，便能根據定理3.2判斷它是否有解；在有解時，把增廣矩陣進一步化成最簡形矩陣，從而寫出它的通解。

第四節 初等方陣 一. 數學概念

定義4.1  由單位矩陣E經過一次初等變換得到的矩陣稱為初等方陣。

1. 對調單位矩陣的兩行(列)，得E[i，j];

2. 以數  乘某行或某列，得E[i(k)]   ;

3. 以數k乘某行(列)加到另一行(列)上去，得E[i，j(k)].

4. 初等方陣均為可逆的方陣，其逆仍是同種的初等方陣。 二. 原理公式和法則

定理4.1  設A是一個  矩陣對A施行一次初等行變換，相當於在A是左邊乘以相應的m階初等矩陣；對A施行一次初等列變換，相當於在A右邊乘以相應的n階初等方陣。

定理4.2  設A為可逆矩陣，則存在有限個初等矩陣  。

推論      矩陣A~B的充分必要條件是：存在m階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q使PAQ=B。

求逆公式

           

求  的公式

               三. 重點、痛點分析

本節的重點是用初等變換求可逆矩陣的逆矩陣。痛點是用初等變換求可逆矩陣的逆矩陣的方法與技巧，以上面公式的推導。 四. 典型例題

例1設

 。

  解：

   。

利用初等行變換求可逆矩陣的方法，還可用於求矩陣  。由

可知，若對(A|B)施行初等行變換，當把A變成E時，B就變成  。

例2. 求矩陣X，使AX=B，其中

解：若A可逆，則  .

  

因此

   。

本例用初等行變換的方法求得  ，如果要求  ，則可對矩陣  作初等列變換，使

 ，

即可得  。不過通常都習慣作初等行變換，那末可改為對  作初等行變換，使

 ，

即可得  ，從而求得Y。

第四節 初等方陣 一. 數學概念

定義4.1  由單位矩陣E經過一次初等變換得到的矩陣稱為初等方陣。

1. 對調單位矩陣的兩行(列)，得E[i，j];

2. 以數  乘某行或某列，得E[i(k)]   ;

3. 以數k乘某行(列)加到另一行(列)上去，得E[i，j(k)].

4. 初等方陣均為可逆的方陣，其逆仍是同種的初等方陣。 二. 原理公式和法則

定理4.1  設A是一個  矩陣對A施行一次初等行變換，相當於在A是左邊乘以相應的m階初等矩陣；對A施行一次初等列變換，相當於在A右邊乘以相應的n階初等方陣。

定理4.2  設A為可逆矩陣，則存在有限個初等矩陣  。

推論      矩陣A~B的充分必要條件是：存在m階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q使PAQ=B。

求逆公式

           

求  的公式

               三. 重點、痛點分析

本節的重點是用初等變換求可逆矩陣的逆矩陣。痛點是用初等變換求可逆矩陣的逆矩陣的方法與技巧，以上面公式的推導。 四. 典型例題

例1設

 。

  解：

   。

利用初等行變換求可逆矩陣的方法，還可用於求矩陣  。由

可知，若對(A|B)施行初等行變換，當把A變成E時，B就變成  。

例2. 求矩陣X，使AX=B，其中

解：若A可逆，則  .

  

因此

   。

本例用初等行變換的方法求得  ，如果要求  ，則可對矩陣  作初等列變換，使

 ，

即可得  。不過通常都習慣作初等行變換，那末可改為對  作初等行變換，使

 ，

即可得  ，從而求得Y。