線性代數：向量乘法

1、向量點乘

向量A與向量B的點乘的結果是一個標量，定義為 A.B = A1*B1+...+An*Bn。

2、向量長度
向量V的長度也是一個標量，定義為||V|| = sqrt(V1*V1+V2*V2+...+Vn*Vn)。

可見V.V = ||V||平方。

3、點積的性質
交換率：A.B = B.A
分配率：（A+B).C = A.C + B.C
結合率：（cA).B = c(A.B)

4、柯西施瓦茨不等式
對於向量AB，有 |A.B| <= ||A||||B||。 等號僅在A = cB時成立。
證明：p(t) = ||tA-B|| >=0；
        (tA-B).(tA-B)>=0;   t*tA.A-2t(A.B)+B.B>=0；
由於取 a = A.A , b = 2(A.B), c = B.B,  at*t - bt+c>=0，取t = b/2a,  b*b/4a-b*b/2a+c>=0,  c>=b*b/4a，4ac>=b*b,代回 4A.A*B.B>=4|A.B|平方，兩邊開平方得||A||||B||>=|A.B|。

5、三角不等式
||A+B||<=||A||+||B||。等號僅在A=cB時成立。
證明  ||A+B||平方  = （A+B).(A+B) = A.A +2A.B+B.B = ||A||平方 + 2A.B+||B||平方 <=||A||平方+2||A||||B||+||B||平方 = （||A||+||B||)平方。 兩邊去掉平方。

6、向量夾角
假設向量A，B的夾角為Ɵ，那麼A.B = ||A||||B||cosƟ。AB不為0向量。
證明依據三角形餘玄定力 c平方 = a平方 + b平方- 2abcosƟ，對應的向量形式就是   ||A-B||平方 = ||A||平方 + ||B||平方 - 2||A||||B||cosƟ；
左側 = (A-B).(A-B) = ||A||平方 - 2A.B + ||B||平方，代入再消除相等項。

如果A.B=0,則意味這cosƟ = 0, Ɵ=90度，AB垂直。 A,B不能為0向量，否則角度是沒有定義的。 

如果A.B=0，無論AB是否0向量，此時可以稱A與B是正交的。

夾角的定義可以推廣的n維控制項，儘管在幾何上無法表現。

7、向量定義3維平面
通過平面上的一點，和平面的法線向量能夠定義一個平面。
假設平面的法線向量N，平面上的一點，用位置向量表示A，任意一點的位置向量X，則有 （X-A).N = 0。 
展開這個向量點乘，可以的到平面方程的標準形式  AX+BY+CZ = D。

8、向量叉乘
向量叉乘的結果叫做外積，是一個向量，只對R3向量定義。C = AxB = (A2B3-A3B2, A1B3-B1A3, A1B2-A2B1)。
C與A，B正交，C.A = C.B = 0。 並且A，B，C三個向量的方向符合右手系三維座標系。

||C|| = ||A||||B||sinƟ，Ɵ是AB的夾角。

9、另一角度看點積和叉積
A.B = ||A||||B||cosƟ，相當於向量A的長度，乘上B在A上投影的長度，體現了兩個向量是否方向很一致。
||AxB|| = ||A||||B||sinƟ，相當於向量A的長度，垂直與B的分量與B的乘積，體現了兩個向量正交的程度。 叉積的長度值還等於AB構成的平行四邊形的面積。

10、矩陣向量乘法
矩陣Mm*n乘以一個向量V(維度為n)的時候，規定此時將向量轉寄乘一個n*1的矩陣，然後使用矩陣乘法就行了。得到的是一個m*1的矩陣，或列向量。
從另一個角度看，可以把矩陣看成m個行向量[L1,L2,...,Lm]，每個行向量與目標向量做點乘，得到的m個標量組成一個向量 (L1.V,L2.V,...,Lm.V)。
從另一個角度看，又可以把矩陣看成n個列向量[C1,C2,...,Cn]，然後把目標向量的n個分量，作為係數，把n個向量進行線性組合 C1*V1+C2*V2+,...+Cn*Vm。