線性代數：零空間

1、矩陣零空間

對於矩陣A，所有滿足AV=0,的向量V組成的集合N，可以證明N包含零向量，切對線性運算封閉，因此N是一個向量子空間，這個子空間叫做矩陣A的零空間。

求矩陣的零空間，就是求方程組 AX = 0 的解空間。

矩陣可以看做一組列向量 C1,C2,...,Cn，那麼如果這組向量是線性無關的，那麼AX=0的解空間只包含一個向量：零向量。反之，如果零空間包含非零向量，說明矩陣的列向量線性相關。

2、矩陣列空間
矩陣列向量所張成的空間span(C1,C2,...,Cn)叫做矩陣列空間。這個向量子空間={Ax | x取任意值}。
判斷一個向量V，是否是矩陣列空間的成員，相當於判斷 Ax = V,是否有解。

3、向量空間的基包含的向量個數是固定的
向量空間具有無數組基，每組基具備相同的向量個數。
證明：向量集合A={a1,a2,a3,...,an}是向量的一組基，向量集合B={b1,b2,...,bm}也是同樣子空間的基，滿足span(B)=span(A)。
只要能證明m>=n即可，反過來就可以證明n>=m。
第一步：構造一個新的集合B1'  = {a1,b1,b2,...,bm}，a1可以表示為B的線性組合，a1 = c1b1+c2b2+...+cmbm，ci必然有一個不為0，那麼有bi=其他向量的線性組合，不管i的值如何，形式上我們可以將bi與b1交換，然後將b1，移除，不會影響到span（B1')。於是我們得到一個新的向量集合B1 = {a1,b2,...,bm}，且span(B1)=span(A)。
第二步：構造新的集合B2‘ = {a1,a2,b2,...bm}，a2 = c1a1+c2b2+...+cmbm，由於A是向量子空間的基，a2不能由a1的線性組合來表示，因此c2...cm必然不全為零，假設ci不等於0，那麼bi=B2'其他向量的線性組合，不管i的值如何，形式上我們可以將bi與b2交換，於是我們得到一個新的向量集合B2 = {a1,a2,b3,...,bm}，且span(B2)=span(A)。
繼續上面的步驟，假設m<n,可以得到 Bm = {a1,a2,...,am}，這說明an可以表示為Bm的向量組合，這是不可能的。

向量空間基所包含的向量個數也就是子空間的維度。

4、零度
矩陣零空間的度，叫做矩陣的零度。

5、矩陣列空間的基
求取矩陣列空間的基，可以把矩陣轉化為簡化行階梯型，然後找出主列。簡化階梯型的主列對應的原矩陣的列就是矩陣列向量的基。
證明：1、在求矩陣零空間的時候可知，Ax=0與 rref(A)x=0有相同的解，因此簡化階梯型主列對應的原矩陣的列是線性無關的。
2、同樣的道理，rref(A)x=0的解空間可以得到，對應非主列位置，不為零的解，進而可知非主列可以表示為朱列的線性組合。