線性篩法

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線性篩法

上節課講的是 Eratosthenes 篩法利用的原理是 任意整數 x 的倍數 2x，3x，... 等都不是質數 。

但是即便如此也會有重複標記的現象，例如12既會被2又會被3標記，在標記2的倍數時，\(12 = 6*2\)，在標記3的倍數時，\(12 = 4*3\) ，根本原因是沒有找到唯一產生12的方式。

線性篩法的核心原理

每個合數必有一個最大因子（不包括它本身），用這個因子把合數篩掉

換言之：每個合數必有一個最小素因子，用這個因數把合數篩掉

過程

假設 i 是合數 t 的最大因數，t顯然可能不唯一（例如 30 和 45 最大因數都是 15）。但是仔細想一想，必然有

t = i * p(p為小於 i 的質數) 。

• p為什麼比 i 小？因為 i 是 t 的最大因數。
• 為什麼 p 一定是質數？因為如果 p 是合數，那麼 i 就一定不是 t 的最大因數，因為 p 可以再拆成若干素數相乘，這些素數再與 i 相乘會使因數更大。

既然如此，我們只需要把所有小於 i 的質數 p 都挨個乘一次好了。

真相真的是這樣的嘛？

其實不是的，一不小心就忘記了最初的條件。我們要滿足 i 是 t 的最大因數。如果 p 大於 i 的最小質因數，那 i 還是 t 的最大因數嘛？顯然不是，任何一個合數都能唯一分解為有限個質數的乘積，除去這其中最小的質因數，其他的都乘起來就是最大因數 i 。所以我們不能讓 p 大於 i 的最小質因數。

• v[i] 表示 i 的最小質因數。規定如果為 1，v就是質數。
• prime[j] 表示第 j 個質數。與之前的篩法不同，這個數組是存放質數的，而不是標記質數的

#define MAXN 1000000int prime[MAXN],v[MAXN];int m=0;//m表示現在篩出m個質數void primes(){    v[1] = 0;    for(int i=2;i<MAXN;i++)    {        if(v[i]==0)//如果v[i]為0，說明 i 之前沒有被篩到過，i 為質數        {            v[i] = 1;             prime[++m] = i;        }        for(int j = 1;j<=m;j++)//遍曆小於 i 的所有質數        {            //如果質數大於 i 的最小質因數或者乘起來大於MAXN就跳出迴圈            if(prime[j] > v[i] || prime[j] > MAXN/i)                 break;            v[i*prime[j]] = prime[j];//標記 i*prime[j] 的最小質因數是prime[j]        }    }}

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