Logistic迴歸模型和Python實現

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迴歸分析是研究變數之間定量關係的一種統計學方法，具有廣泛的應用。

Logistic迴歸模型線性迴歸

先從線性迴歸模型開始，線性迴歸是最基本的迴歸模型，它使用線性函數描述兩個變數之間的關係，將連續或離散的自變數映射到連續的實數域。

模型數學形式：

引入損失函數（loss function，也稱為錯誤函數）描述模型擬合程度:

使J(w)最小，求解最佳化問題得到最佳參數。

Logistic迴歸

logistic迴歸(Logistic regression 或 logit regression)有時也被譯為"羅吉斯迴歸"，不過它和"邏輯"並沒有太大關係應該只是音譯。從內容來講，它最合適的名字應該是logit迴歸。

logistic迴歸模型更多的被用於機率分類器中。線性迴歸將自變數映射到連續的實數，在很多情況下因變數的取值是在有限的區間中的，最常見的如機率問題的0-1區間。

Sigmod函數提供了一個從實數域到(0,1)的映射：

該函數

以數學形式給出把線性模型映射到0-1的方式：

逆變換：

這個變換被稱為logit變換，或許就是該模型名字的來源。

logistic迴歸通常被用做機率分類器，以p=0.5作為分解線。

求解規劃模型最小二乘法

最小二乘法通過數學推導得到全域最優解的運算式，是一種完全數學描述的方法，直接給出求解公式。

最小二乘法可以得到全域最優解，但是因涉及超大矩陣的求逆運算而難以求解。

梯度下降（上升）法:

梯度下降法是一種典型的貪心演算法，它從任意一組參數開始，向著使目標函數最小的方向調整參數，直至無法使目標函數繼續下降時，停止計算。

多元函數微積分中, 梯度指向函數值變化最快方向的向量. 梯度下降法無法保證的得到全域最優解

梯度下降法有批量梯度下降法和隨機梯度下降法兩種實現方法。

批量梯度下降（上升）法（Batch Gradient Descent/Ascent）

批量梯度下降法的演算法流程：

初始化迴歸係數為1重複執行直至收斂 ｛    計算整個資料集的梯度    按照遞推公式更新迴歸梯度｝返回最優迴歸係數值

將損失函數J(w)求偏導，得到J(w)的梯度。以矩陣形式給出：

alpha是下降步長，由迭代公式：

隨機梯度下降（上升）法（stochastic gradient Descent/Ascent）

隨機梯度下降法的演算法流程:

初始化迴歸係數為1重複執行直至收斂 ｛    對每一個訓練樣本｛        計算樣本的梯度        按照遞推公式更新迴歸梯度    ｝｝返回最優迴歸係數值

為了加快收斂速度，做出兩個改進：

(1)在每次迭代時，調整更新步長alpha的值。隨著迭代的進行，alpha越來越小

(2)每次迭代改變樣本的順序,也就是隨機播放樣本來更新迴歸係數

Logistic 迴歸的實現

訓練資料testSet.txt,包含m行n+1列：

m行代表m條資料，每條資料前n列代表n個樣本，第n+1列代表分類標籤(0或1)。

Python:

分類器被封裝在類中：

from numpy import *import matplotlib.pyplot as pltdef sigmoid(X):       return 1.0/(1+exp(-X))class logRegressClassifier(object):        def __init__(self):        self.dataMat = list()        self.labelMat = list()        self.weights = list()    def loadDataSet(self, filename):        fr = open(filename)        for line in fr.readlines():            lineArr = line.strip().split()            dataLine = [1.0]            for i in lineArr:                dataLine.append(float(i))            label = dataLine.pop() # pop the last column referring to  label            self.dataMat.append(dataLine)            self.labelMat.append(int(label))        self.dataMat = mat(self.dataMat)        self.labelMat = mat(self.labelMat).transpose()        def train(self):        self.weights = self.stocGradAscent1()    def batchGradAscent(self):        m,n = shape(self.dataMat)        alpha = 0.001        maxCycles = 500        weights = ones((n,1))        for k in range(maxCycles):              #heavy on matrix operations            h = sigmoid(self.dataMat * weights)     #matrix mult            error = (self.labelMat - h)              #vector subtraction            weights += alpha * self.dataMat.transpose() * error #matrix mult        return weights    def stocGradAscent1(self):        m,n = shape(self.dataMat)        alpha = 0.01        weights = ones((n,1))   #initialize to all ones        for i in range(m):            h = sigmoid(sum(self.dataMat[i] * weights))            error = self.labelMat[i] - h            weights += (alpha * error * self.dataMat[i]).transpose()        return weights    def stocGradAscent2(self):         numIter = 2        m,n = shape(self.dataMat)        weights = ones((n,1))   #initialize to all ones        for j in range(numIter):            dataIndex = range(m)            for i in range(m):                alpha = 4/(1.0+j+i)+0.0001    #apha decreases with iteration, does not                 randIndex = int(random.uniform(0,len(dataIndex)))#go to 0 because of the constant                h = sigmoid( sum(self.dataMat[randIndex] * weights) )                error = self.labelMat[randIndex] - h                weights += (alpha * error * self.dataMat[randIndex]).transpose()                del(dataIndex[randIndex])        return weights    def classify(self, X):        prob = sigmoid(sum( X * self.weights))        if prob > 0.5:            return 1.0        else:             return 0.0    def test(self):        self.loadDataSet(‘testData.dat‘)        weights0 = self.batchGradAscent()        weights1 = self.stocGradAscent1()        weights2 = self.stocGradAscent2()        print(‘batchGradAscent:‘, weights0)        print(‘stocGradAscent0:‘, weights1)        print(‘stocGradAscent1:‘, weights2)if __name__ == ‘__main__‘:    lr = logRegressClassifier()    lr.test()

Matlab

上述Python代碼用Matlab實現並不難(只是需要拆掉類封裝)，只是Matlab的廣義線性模型工具箱提供了Logistic模型的實現。

trainData = [0 1; -1 0; 2 2; 3 3; -2 -1;-4.5 -4; 2 -1; -1 -3];group = [1 1 0 0 1 1 0 0]‘;testData = [5 2;3 1;-4 -3];[testNum, attrNum] = size(testData);testData2 = [ones(testNum,1), testData];B = glmfit(trainData, [group ones(size(group))],‘binomial‘, ‘link‘, ‘logit‘)p = 1.0 ./ (1 + exp(- testData2 * B))

B = glmfit(X, [Y N],‘binomial‘, ‘link‘, ‘logit‘)

X參數為特徵行向量組， Y為代表預先分組的列向量,N是一個與Y同型的向量，Y(i)的在[0 N(i)]範圍內取值。

B為[1, x1, x2,...]的係數，測試資料的第一列被加上了1。

p = 1.0 ./ (1 + exp(- testData2 * B))

代入sigmoid函數求解。

Logistic迴歸模型和Python實現