DP之最長上升子序列O(n*logn)演算法

       舉著見過的例子要說明吧！

       假設一個序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出來它的LIS長度為5.下面慢慢的一步一步的找出它的LIS.

       我們定義一個了序列為B,然後用i從1到9慢慢的考察。另外再定義一個len來記錄當前的最長序列的長度

首先，把d[1]有序地放到B裡，令B[1] = 2，就是說當只有一個數字為2的時候，長度為1的LIS的最小末尾是2，這時Len=1，

然後，把d[2]有序地放到B裡，令B[1] = 1，就是說長度為1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已經沒用了，很容易理解，是吧。這時Len=1。接著，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是說長度為2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。這時候B[1..2]
= 1, 5，Len＝2。再來，d[4] = 3，它正好加在1,5之間，放在1的位置顯然不合適，因為1小於3，長度為1的LIS最小末尾應該是1，這樣很容易推知，長度為2的LIS最小末尾是3，於是可以把5淘汰掉，這時候B[1..2]
= 1, 3，Len = 2。繼續，

d[5] = 6，它在3後面，因為B[2] = 3, 而6在3後面，於是很容易可以推知B[3] = 6, 這時B[1..3] = 1, 3, 6，還是很容易理解吧？ Len = 3 了。

第6個, d[6] = 4，你看它在3和6之間，於是我們就可以把6替換掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len繼續等於3.

第7個, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。於是B[4] = 8。Len變成4了

第8個, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len繼續增大，到5了。

最後一個, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之間，所以我們知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

於是我們知道了LIS的長度為5。

!!!!! 注意。這個1,3,4,7,9不是LIS，它只是儲存的對應長度LIS的最小末尾。有了這個末尾，我們就可以一個一個地插入資料。雖然最後一個d[9] = 7更新進去對於這組資料沒有什麼意義，但是如果後面再出現兩個數字 8 和 9，那麼就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的長度為6。

然後應該發現一件事情了：在B中插入資料是有序的，而且是進行替換而不需要挪動——也就是說，我們可以使用二分尋找，將每一個數位插入時間最佳化到O(logN)~~~~~於是演算法的時間複雜度就降低到了O(NlogN)～！

上面例子的代碼如下：

#include<iostream>using namespace std;int find(int *a,int len,int n){int left=0,right=len,mid=(right+left)/2;while(left<=right){if(n>a[mid])left=mid+1;else if(n<a[mid])right=mid-1;elsereturn mid;mid=(right+left)/2;}return left;}int main(){int c[100],i,j,len;int a[9]={2 ,1 ,5 ,3 ,6 ,4 ,8 ,9 ,7};c[0]=-1;c[1]=a[0];len=1;for(i=0;i<9;i++){j=find(c,len,a[i]);c[j]=a[i];if(j>len)len=j;}cout<<len<<endl;return 0;}