最長公用子序列(LCS)

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一、最長公用子序列介紹

　　一個序列的子序列是在該序列中刪去若干元素後得到的序列。例如：“ABCD”和“BDF”都是“ABCDEFG”的子序列。

　　最長公用子序列（Longest Common Subsequence,簡寫LCS）問題：給定兩個序列X和Y，求X和Y長度最大的公用子序列。例如：X=“ABBCBDE”, Y="DBBCDB", LCS(X,Y)="BBCD"

　　應用情境：字串相似性比對、基因比對。

1、LCS的最優子結構原理

　　令X=<x1,x2,...,xm>和Y=<y1,y2,...,yn>為兩個序列，Z=<z1,z2,...,zk>為X和Y的任意LCS。

　　1.如果xm=yn，則zk=xm=yn且Zk-1是Xm-1和Yn-1的一個LCS。

　　2.如果xm≠yn，那麼zk≠xm意味著Z是Xm-1和Y的一個LCS。

　　3.如果xm≠yn，那麼zk≠yn意味著Z是X和Yn-1的一個LCS。

2、最優解的遞推式

　　

　　c[i,j]表示Xi和Yj的LCS長度。

 二、樣本及解析

　　例如:要求a="ABCBDAB"與b="BDCABA"的LCS:

　　由於最後一位"B"=?"A"，因此LCS(a,b)應該來源於LCS(a[:-1],b)與LCS(a,b[:-1])中的一個。意思就是最後一位不一樣，要不去除a的最後一位，要不去除b的最後一位。

　　

 

最長公用子序列(LCS)