最長公用子序列LCS（動態規劃基礎）

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• 動態規劃分為四個步驟：

動態規劃並不是一種演算法，而是一種解決問題的思路。典型的動態規劃問題，如最長公用子序列（LCS），最長單調子序列（LIS）等。

動態規劃分為四個步驟：1.判斷問題是否具有最優子結構

這裡以LCS為例，X={x1,x2,...,xi}；Y={y1,y2,...,yj}。最長公用子序列Z={z1,z2,...,zk}；

①如果xi=yj，那麼zk=xi=yj，且Zk-1是序列Xi-1和Yj-1的LCS；

②如果xi≠yj，那麼zk≠xi；且Zk是序列Xi-1和Yj的LCS；

③如果xi≠yj，那麼zk≠yj；且Zk是序列Xi和Yj-1的LCS；

可以用反證法證明上述子結構的成立。

2.一個遞迴解

設c[i,j]是Xi和Yj的LCS的長度，i=0或j=0時，c[i,j]=0;

c[i,j]=0   (i=0或j=0)

c[i,j]=c[i-1,j-1]   (i,j>0;xi=yj)

c[i,j]=max{c[i-1,j],c[i,j-1]}   (i,j>0;xi≠yj)

3.計算LCS的長度

c[i,j]為遞迴解，那麼有多少個不同的遞迴解呢？O(m*n)。即要有重疊子問題，而不是每次都要解決新的問題。至於重疊子問題，需從底向上求。每次只需索引之前較小規模的子問題即可。

從底向上，求解c[i,j]。還需維護b[i][j]以簡化最優解的結構。

例如，設所給的兩個序列為X=<A，B，C，B，D，A，B>和Y=<B，D，C，A，B，A>。由演算法LCS_LENGTH和LCS計算出的結果2所示。

　

j

0

1

2

3

4

5

6

i

yj

B

D

C

A

B

A

┌

─

─

─

─

─

─

─

─

─

─

─

─

─

┐

0

xi

│

0

0

0

0

0

0

│

│

↑

↑

↑

│

1

A

│

0

0

0

0

1

←

1

1

│

│

↑

│

2

B

│

0

1

←

1

←

1

1

2

←

2

│

│

↑

↑

↑

↑

│

3

C

│

0

1

1

2

←

2

2

2

│

│

↑

↑

↑

│

4

B

│

0

1

1

2

2

3

←

3

│

│

↑

↑

↑

↑

↑

│

5

D

│

0

1

2

2

2

3

3

│

│

↑

↑

↑

↑

│

6

A

│

0

1

2

2

3

3

4

│

│

↑

↑

↑

↑

│

7

B

│

0

1

2

2

3

4

5

│

└

─

─

─

─

─

─

─

─

─

─

─

─

─

┘

void LCS_LENGTH(char x[],char y[],const int len_x,const int len_y,int c[][ROW],int b[][ROW]){int i,j;for(i=1;i<len_x;i++){for(j=1;j<len_y;j++){if(x[i]==y[j]){c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;b[i][j]=3;//3==""}elseif(c[i-1][j]>=c[i][j-1]){c[i][j]=c[i-1][j];b[i][j]=1;//1=="↑"}else{c[i][j]=c[i][j-1];b[i][j]=2;//2=="←"}}//for j}//for i}

4.構造一個LCS

根據表b[i][j]構造LCS，

3==""，表示x[i]在Zk中；

1=="↑"，表示x[i]不在Zk中，且向c[i][j]=c[i-1][j];

2=="←"，表示x[i]不在Zk中，且向c[i][j]=c[i][j-1];
void PRINT_LCS(int b[][ROW],char x[],int m,int n){if(m==0||n==0)return;if(b[m][n]==3){PRINT_LCS(b,x,m-1,n-1);printf("%c\t",x[m]);}else if(b[m][n]==1){PRINT_LCS(b,x,m-1,n);}else{PRINT_LCS(b,x,m,n-1);}}