求最長公用子序列（子序列在原串中可以不連續）

1.問題描述：

最長公用子序列也稱作最長公用子串(不要求連續)，英文縮寫為LCS（Longest Common Subsequence）。其定義是，一個序列 S ，如果分別是兩個或多個已知序列的子序列，且是所有符合此條件序列中最長的，則 S 稱為已知序列的最長公用子序列。

2.用途：

最長公用子序列是一個十分實用的問題，它可以描述兩段文字之間的“相似性”，即它們的雷同程度，從而能夠用來辨別抄襲。對一段文字進行修改之後，計算改動前後文字的最長公用子序列，將除此子序列外的部分提取出來，這種方法判斷修改的部分，往往十分準確。簡而言之，百度知道、百度百科都用得上。

3.動態規劃解法：

動態規劃的方法求序列X,Y的最長公用子序列

以兩個序列 X、Y 為例子： 設有二維數組 f[i][j] 表示 X 的 i 位和 Y 的 j 位之前的最長公用子序列的長度，則有：

f[1][1] = same(1,1);

f[i][j] = max{f[i-1][j -1] + same(i,j),f[i-1,j],f[i,j-1]}

其中，same(a,b)當 X 的第 a 位與 Y 的第 b 位完全相同時為“1”，否則為“0”。

最後f[lenX][lenY]即為最長公用子序列的值。

該演算法的空間、時間複雜度均為O(n^2)，經過最佳化後，空間複雜度可為O(n)。

4.代碼實現：

#include <cstdlib> 　　

#include <iostream> 　　

using namespace std; 　　

#define N 105 　　

int dp[N+1][N+1] ; 　　

char str1[N] , str2[N]; 　　

 

int maxx(int a , int b) 　　

{ 　　

　　if(a > b) 　　

　　　　return a ;

　　return b ; 　　

} 　　

 

int LCSL(int len1 , int len2) 　　

{ 　　

　　int i , j ; 　　

　　int len = maxx(len1 , len2); 　　

　　for( i = 0 ; i <= len; i++ ) 　　

　　{ 　　

　　　　dp[i][0] = 0 ;dp[0][i] = 0 ; 　　

　　} 　　

　　for( i = 1 ; i<= len1 ; i++) 　　

　　{

　　　　for( j = 1 ; j <= len2 ; j++) 　　

　　　　{ 　　

　　　　　　if(str1[i - 1] == str2[j - 1]) 　　

　　　　　　{ 　　

　　　　　　　　dp[i][j] = dp[i - 1][ j - 1] + 1 ; 　　

　　　　　　} 　　

　　　　　　else 　　

　　　　　　{ 　　

　　　　　　　　dp[i][j] = maxx(dp[i - 1][ j ] , dp[i][j - 1]) ; 　　

　　　　　　} 　　

　　　　}

　　}　　

　　return dp[len1][len2]; 　　

} 　　

int main() 　　

{ 　　

　　while(cin >> str1 >> str2) 　　

　　{ 　　

　　　　int len1 = strlen(str1) ; 　　

　　　　int len2 = strlen(str2) ; 　　

　　　　cout<<LCSL(len1 , len2)<<endl; 　　

　　} 　　

　　return 0; 　　

}

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