Longest Palindromic Substring

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題目：

　　Given a string S, find the longest palindromic substring in S. You may assume that the maximum length of S is 1000, and there exists one unique longest palindromic substring.

 

思路：

　　這題其實就是問 Manacher 演算法——O(n)迴文子串演算法。迴文串開始比較糾結的是奇偶串判別方法不同，用一個比較巧妙的方法將其統一成奇串：先在每兩個相鄰字元中間插入一個分隔字元，這個分隔字元要在原串中沒有出現過，一般可以用‘#’分隔。這樣迴文串保證了都是奇數。用一個數組 p 記錄以每個字元為中心的最長迴文串長度，即：p[id] 記錄的是以字元 s[id] 為中心的最長迴文串長度，舉例：

原串   :   a   b   c   d   c   b   a   f 
拷貝串 : # a # b # c # d # c # b # a # f #
數組 p : 1 2 1 2 1 2 1 8 1 2 1 2 1 2 1 2 1

　　容易證明，p[id] - 1 就是迴文子串在原串中的長度，如上例中，最長子串為 abcdcba ，長度為7，p[8] - 1 = 7。現在問題變成如何算出數組 p 。用變數 i 逐個掃描字串，變數 MaxId 記錄掃描串時所到達的最右邊的下標，用 id 記錄掃描到最右邊串時當前子串的中心，結合以下代碼理解下變數意思：

if (MaxId < i + p[i]){    MaxId = i + p[i];    id = i;}

　　要在O(n)時間內找到最長迴文串，也就是說當掃描子串時最長掃到了 MaxId 的位置，那麼在 i 遍曆到 MaxId 之前我們都不需要重新掃描，而是能直接通過某個性質得到當前 p[i] ，先給出核心代碼：

if (MaxId > i)    p[i] = min(MaxId - i, p[id + id  - i]);else              p[i] = 1;

　　id + id - i 是 i 關於 id 的對稱點，設為 j ，p[j] 是以 j 為中心的最長迴文串長度，也就是以 j 為中心掃描過的長度，MaxId 是當前掃描到的最右邊，結合理解：我們在算 p[i] 時，由於迴文串的特點可以知道 p[i] 就等於 p[j] ，但是若 i + p[i] 的長度超過了 MaxId ，這之後的字元是還未掃描過的，即在計算 p[i] 時，它所能確定的最長不能超過 MaxId - i ，也不能超過 i 的對稱點 j 所掃描的長度 p[j] ，所以取兩者間的小值。見圖：

 p[i] = p[j];  

 

p[i] = MaxId - i;

 

代碼：

 

 1 #define min(a,b) (a) > (b)? (b): (a) 2 char* longestPalindrome(char* s) { 3     char auxStr[2001]; 4     int i, p[2001] = {0}, MaxId = 0, id = 0, leng, j, start = 0; 5      6     auxStr[0] = ‘^‘; 7     for (i = 0; s[i] != ‘\0‘; ++i){ 8         auxStr[i+1+i+1] = s[i]; 9         auxStr[i+1+i] = ‘#‘;10     }11     auxStr[i+1+i] = ‘#‘;12     auxStr[i+1+i+1] = ‘\0‘;13     for (i = 1; auxStr[i] != ‘\0‘; ++i){14         if (MaxId > i)15             p[i] = min(MaxId - i, p[id + id  - i]);16         else17             p[i] = 1;18         while (auxStr[i + p[i]] == auxStr[i - p[i]])19             ++p[i];20         if (MaxId < i + p[i]){21             MaxId = i + p[i];22             id = i;23         }24         if (p[start] < p[i])25             start = i;26     }27     i = (start - p[start])/2;28     leng = p[start] - 1;29     for (j = 0; j < leng; ++i){30         auxStr[j++] = s[i];31     }32     auxStr[j] = ‘\0‘;33     return auxStr;34 }

Longest Palindromic Substring

 

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