Lucas定理 以及 C

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最近碰到一題，問你求mod (p1*p2*p3*……*pl) ,其中n和m資料範圍是1~1e18 , l ≤10 , pi ≤ 1e5為不同的質數，並保證M=p1*p2*p3*……*pl ≤ 1e18 。

要解決這個問題首先需要Lucas定理 或者 C！解法。

Lucas定理：

我們令n=sp+q , m=tp+r . q ， r ≤ p

那麼，然後你只要繼續對調用Lucas定理即可。

代碼可以遞迴的去完成這個過程，其中遞迴終點為t = 0 ；

虛擬碼,時間O（logp(n)*p)：

int Lucas (ll n , ll m , int p) {        return m == 0 ? 1 : 1ll*comb (n%p , m%p , p) * Lucas (n/p , m/p , p) %  p ; }//comb()函數中，因為q ， r ≤ p , 所以這部分暴力完成即可。

 Lucas定理證明：

證明資料：http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/algebra/LucasTheorem.shtml

首先你需要這個算式:，然後

(1 + x) n Ξ (1 + x) sp+q  Ξ ( (1 + x)p)s • (1 + x) q Ξ (1 + xp) s • (1 + x) q   (mod p) ;

.

所以，通過左右係數比較，你就會發現，及i=t , j=r的時候。

 

Lucas定理 以及 C