Luogu P2679 子串(字串+dp)

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P2679 子串

題意題目描述

有兩個僅包含小寫英文字母的字串\(A\)和\(B\)。

現在要從字串\(A\)中取出\(k\)個互不重疊的非空子串，然後把這\(k\)個子串按照其在字串\(A\)中出現的順序依次串連起來得到一個新的字串。請問有多少種方案可以使得這個新串與字串\(B\)相等？

注意：子串取出的位置不同也認為是不同的方案。

輸入輸出格式輸入格式：

第一行是三個正整數\(n,m,k\)，分別表示字串\(A\)的長度，字串\(B\)的長度，以及問題描述中所提到的\(k\)，每兩個整數之間用一個空格隔開。

第二行包含一個長度為\(n\)的字串，表示字串\(A\)。

第三行包含一個長度為\(m\)的字串，表示字串\(B\)。

輸出格式：

一個整數，表示所求方案數。

由於答案可能很大，所以這裡要求輸出答案對\(1000000007\)模數的結果。

輸入輸出範例輸入範例：

6 3 1aabaabaab

輸出範例：

2

輸入範例：

6 3 2aabaabaab

輸出範例：

7

輸入範例：

6 3 3aabaabaab

輸出範例：

7

說明

對於第\(1\)組資料:\(1 \leq n \leq 500,1 \leq m \leq 50,k=1\);

對於第\(2\)組至第\(3\)組資料:\(1 \leq n \leq 500,1 \leq m \leq 50,k=2\);

對於第\(4\)組至第\(5\)組資料:\(1 \leq n \leq 500,1 \leq m \leq 50,k=m\);

對於第\(1\)組至第\(7\)組資料:\(1 \leq n \leq 500,1 \leq m \leq 50,1 \leq k \leq m\);

對於第\(1\)組至第\(9\)組資料:\(1 \leq n \leq 1000,1 \leq m \leq 100,1 \leq k \leq m\);

對於所有\(10\)組資料:\(1 \leq n \leq 1000,1 \leq m \leq 200,1 \leq k \leq m\)。

思路

你可以看一篇優秀的部落格。 --alecli

這位神犇叫為了我這道題。

設計狀態\(dp[i][j][k][0/1]\)，\(i\)表示\(A\)字串的前\(i\)位，\(j\)表示\(B\)字串的前\(j\)位，\(k\)表示選取了多少個子串，\(0/1\)表示當前字元有沒有選入子串中。

如果該位沒有選，那麼轉移是顯然易見的：

\[dp[i][j][k][0]=dp[i-1][j-1][k][1]+dp[i-1][j-1][k][0]\]

它表示不論前一位選與不選，我都加一個空格，分開上一子串和下一子串

而如果要選這一位，就要分類討論這一位上的\(A\)與\(B\)是否相同。

• 如果不同，那麼\(dp[i][j][k][0]=0\)；
• 如果相同，那麼\(dp[i][j][k][0]=dp[i-1][j-1][k][1]+dp[i-1][j-1][k-1][1]+dp[i-1][j-1][k-1][0]\)，它表示繼續下一子串、在上一子串聯續的情況下重新開始新一子串、直接作為新子串的開頭。

那麼答案就是\(dp[n][m][k][0]+dp[n][m][k][1]\)了。

順便，My Code怕空間不足，寫了滾動數組。如果不寫的話，要記得初始化\(dp\)數組的值。

AC代碼

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long LL;const LL P=1000000007;LL n,m,k,dp[2][202][202][2];string a,b;int main(){    cin>>n>>m>>k;    cin>>a>>b;    a=' '+a;    b=' '+b;    dp[0][0][0][0]=dp[1][0][0][0]=1;    for(LL i=1;i<=n;i++)        for(LL j=1;j<=m;j++)            for(LL p=1;p<=k;p++)            {                dp[i&1][j][p][0]=(dp[(i-1)&1][j][p][0]+dp[(i-1)&1][j][p][1])%P;                if(a[i]==b[j]) dp[i&1][j][p][1]=(dp[(i-1)&1][j-1][p][1]+dp[(i-1)&1][j-1][p-1][0]+dp[(i-1)&1][j-1][p-1][1])%P;                else dp[i&1][j][p][1]=0;            }    printf("%lld",(dp[n&1][m][k][1]+dp[n&1][m][k][0])%P);    return 0;}

Luogu P2679 子串(字串+dp)