計算可能組合數目的數學期望

題目：

在一個盒子裡面有N根繩子，這個N根繩子的中間部分放在盒子裡面，不可見，但是這個N根繩子的兩端露在盒子外面，所以我們能看到2N個繩頭。 隨機選取2個繩頭並打結，直到所有的繩頭都打上結。最後這些打結的繩子會形成許多環。請問環數目的期望值是多少？

分析：

以下內容直接從另外的部落格轉載的：

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這個題目可以通過歸納法來看：

假設繩子個數為n時，環的期望為E(n)

n=1 E(1) = 1 

一根繩子只能和自己打成一個環，機率為1

n=2 E(2) = 1/3 * 2 + 2/3 * 1 = 4/3

二個繩子任取一段，有1/3的機率和自己另外一段相連，則形成2個環；有2/3的機率和另外一條繩子一端相連，形成1個環

n=3 E(3) = 1/5*(1+E(2)) + 4/5 * E(2)

1/5的機率與自己相連形成一個環，則剩下為2條繩子的情況

4/5的機率和別的繩子相連，則圖中1和2組成了一條新的繩子，此時即為2條繩子的情況：

 

故E(n)=1/(2n-1) *[1+E(n-1)] + (2n-2)/(2n-1) * E(n-1) = 1/(2n-1) + E(n-1)

則E(n) = 1/(2n-1) + 1/(2n-3) + 1/(2n-5) + … +1/5+ 1/3 + 1

轉載地址：http://wansishuang.appspot.com/?p=260001

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總結：

有時遇到一個大的問題，不知道如何下手時，可以先從簡單的情況出現，發現規律，再歸納總結。