數學歸納法

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數學歸納法：

通常用於證明某個給定命題在整個（或者局部）自然數範圍內成立。它對解題步驟有嚴格要求：

• 證明n=1時成立
• 假設n=k時命題成立，然後以驗證的條件和假設的條件作為論證的依據進行推導，在接下來的推導過程中不能直接將n=k+1代入假設的原式中去
• 總結表述
  

強歸納法:

是數學歸納法的一種變形，證明過程:

• 證明n=1時成立
• 對每一個n(n>1), 若對任意小於n的自然數P成立能推出對n命題P也成立，那麼對任意自然數P都成立
  強歸納法與普通歸納法的區別在於它們的歸納假設不同，在證明對n命題成立時需要假設命題對任意小於n的自然數命題都成立
  

數學歸納法的一種簡單變形:

如果對於帶有參數n的命題P,當n=1和n=2時P都成立,並且如果對每一個n(n>2)，若n-2時P成立能推出n時P也成立，那麼對任意自然數,P成立 。推導過程將沿著兩條平行路線進行歸納

• n=1 作為歸納基礎,通過歸納能得到命題在任意奇數時成立
• n=2 作為歸納基礎,通過歸納能得到命題在任意偶數時成立
  

數學歸納法的另一種變形:

     如果對於帶有參數n的命題P,當n=1時P成立; 並且如果對每一個n(n>1且為2的整數冪)，若n/2時命題P成立能推出對n命題P也成立； 那麼對任意一個2的整數冪的自然數，P都成立。這個變形把最初歸納法原理中的參數n寫成2^k (2的k次冪),然後對參數k(從k=0開始)進行歸納

概括

數學歸納法可用於各種不同的場合，證明的命題不僅可以是數的性質，也可以是結構的性質，大多數情況下我們可對衡量問題規模的n進行歸納，但有時候歸納的量度並不是顯而易見的，在沒有現成的可以用來衡量問題規模的參數時，為了使用歸納法，我們必須構造出一個，而常用的思路就是考慮如何把命題從小的結構擴充到大的結構基于歸納的演算法設計類似於數學歸納法，不需要以東拼西湊的方式來設計問題求解過程，只要保證以下兩點就夠了:

• it is possible to solve a small instance of the problem(the base case)
• a solution to every problem can be constructed from solution of smaller problems(the inductive step)。
• 這個原理首先要把問題簡化成一個更小或者一組更小的問題， 關鍵是要找到一種最優方法來簡化問題，然後將較小規模問題的解擴充到大規模的問題
  如果說一個歸納假設(即smaller problem)更容易擴充，那麼意味著從從smaller的問題更容易推導bigger問題的答案。 所以要找到容易擴充的假設

數學歸納法