數學建模-馬爾薩斯人口問題

目錄 問題的提出 馬爾薩斯人口模型 羅吉斯迴歸模型

1.問題的提出

馬爾薩斯人口問題是對群體增長的預測，由馬爾薩斯提出，同時他還寫了一本關於人口增長的書，整本書的研究均像歐幾裡得研究幾何學一樣，採用公理化來研究，他提出的兩條基本公理為： 食物為人類生存所必需 兩性間的情慾是必然的，且會保持現狀。

由此，我們可以建立對應的研究對象： t→P(t) t \rightarrow P(t)其中t代表時間， P（t） P（t）代表時刻t的人口，我們認為人口雖時間變化，當然它肯定還受其他多方面的因素影響，這隻是我們對這個問題的簡化。

我們希望達到的目標有兩個： 預測未來的某一t時刻的人口有多少。 當 t→∞ t \rightarrow \infty，人口有多少。
這是我們的問題，如何解決呢。

2.馬爾薩斯人口模型

高爾斯在《數學》中也談到了這個問題，人口可以表示成一個數對： (t,P(t)) (t,P(t))其中t代表時刻， P(t) P(t)代表了時刻t的人口。另外我們用b,d表示出生率和死亡率。
如果2002年的總人口是p，那2002年的出生人數和死亡人數就是bp,dp，因此2003年的總人數為： p+bp−dp=(1+b−d)p=(1+r)p p + bp - dp = (1 + b - d)p = (1 + r )p這樣的計算，是屬於離散的模型，因為時間的跨度是一年，但人口的出生和死亡在不同時刻都有，為了把它變成連續的模型，我們藉助積分的思想，計算一下在某一小段時間內，人口的增長情況，可以有： P(t+∇t)−P(t)=rP(t)∇t P(t + \nabla t) - P(t) = rP(t)\nabla t在 ∇t \nabla t這段時間內的人口增長為： 增長率   X   t時刻的人口   X   時間 增長率\ \ \ X\ \ \ t時刻的人口\ \ \ X\ \ \ 時間把 ∇t \nabla t除過來： P(t+∇t)−P(t)∇t=rP(t) \frac{P(t + \nabla t) - P(t)}{\nabla t} = r P(t)取極限了令 ∇t→0 \nabla t \rightarrow 0就可以得到微分方程： dP(t)dt=rP(t)