[數學筆記Mathematical Notes]1-調和級數發散的一個簡單證明

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定理. 調和級數 $\dps{\vsm{n}\frac{1}{n}}$ 是發散的.

證明. 設 $$\bex a_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}, \eex$$ 則 $a_n$ 遞增, 而 $\dps{\vlm{n}a_n=l\in (1,\infty]}$. 若 $l\in (0,\infty)$, 則 $$\bex \vsm{n}\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\vsm{n}\frac{1}{n}=\frac{l}{2}, \eex$$ $$\bex \vsm{n}\frac{1}{2n-1}=\vsm{n}\frac{1}{n}-\vsm{n}\frac{1}{2n} =l-\frac{1}{2} =\frac{l}{2}. \eex$$ 於是 $$\bex \frac{l}{2}=\vsm{n}\frac{1}{2k}<\vsm{n}\frac{1}{2n-1}=\frac{l}{2}. \eex$$ 這是一個矛盾. 而 $l=\infty$.

2015年7月4號 張祖錦 贛南師範學院數學與電腦科學學院 郵箱: [email protected] 

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