20世紀數學（mathematics in 20th century）

20世紀數學（mathematics in 20th century）
20世紀數學是從19世紀數學多樣性時期趨於統一的時期，其統一的基礎是集合論。一方面在集合論之上產生出結構數學的龐大領域，另一方面由集合論的基礎問題產生了元數學。數學新對象的形成，導致結構的多樣性和理論的多樣性，而且19世紀末以前的數學——數論、代數學、分析學、幾何學與應用數學仍有新的發展，加上新的應用數學、計算數學等領域，數學日趨專門化、多樣化。但意想不到的是，從20世紀70年代起，各個領域之間新的關係不斷髮展，新一輪的統一性正在形成之中。

當代數學前沿的大多數學科是20世紀上半葉形成的，其中主要是抽象代數學（包括群論、環及代數理論、域論、格論、整體李群理論、代數群論、同調代數以及各種衍生結構理論）、一般拓撲學、點集拓撲學、測度和積分理論、泛函分析（包括線性拓撲空間理論、運算元代數理論等）、組合拓撲學及代數拓撲學、整體微分幾何學、多複變函數論、動力系統理論、隨機過程理論等。對於19世紀開創的新領域——代數數論、代數幾何學、黎曼幾何學和局部李群理論，也在結構數學的架構中獲得重大突破，成為當代數學的前沿。20世紀早期形成的一些領域，如微分拓撲學、大範圍分析、K理論、非交換幾何等，也可在其中看到萌芽。

除了純粹數學領域的擴大與深化之外，20世紀的應用數學和計算數學的面貌也發生了根本性的改變。

一方面數學應用的範圍已從20世紀之前經典力學、天文學與測地學以及數學物理等領域擴充到幾乎所有自然科學、工程技術、社會科學、人文科學的分支，而且在其中越來越起著舉足輕重的作用；另一方面，一批新的應用數學領域產生出來，成為具有相對獨立的分支，構成大數學科學的組成部分。它們一方面與實際問題有著密切的關係，另一方面它們也形成獨立的數學研究方向。其中最典型的是19世紀末20世紀初形成的數理統計學，它們同應用機率一起在近半個世紀已經成為與經典應用數學平起平坐的學科領域。另外一個數學領域——組合數學幾乎與數學的曆史一樣悠久，但只有近半個多世紀才逐步成熟並獨立地發展起來。

第二次世界大戰之後，一些新的應用數學領域獨立出來，特別是運籌學諸分支，後來納人管理科學的學科群中，與工程技術密切相關的系統科學、控制理論與自動化科學、資訊科學也得到空前的發展。

20世紀科學技術史中頭等重要的事件是電子電腦的誕生，它對整個社會的衝擊是怎麼估計也不過分的。從電腦的設計製造到大規模應用，處處離不開數學，同時也開闢了新的數學領域，它們可以被歸納成兩大部分：一是電腦科學，它指導未來電腦的發展；一是計算數學，它指向電腦在科學計算和工程技術中的大規模計算。電腦的不斷普及和改進對數學也造成不可忽視的影響。它給數學家提出一系列演算法問題，並形成一套有效演算法，如單純形方法及其種種改進，有限元方法及其衍生演算法等，對演算法的分析，如收斂速度、誤差傳播及穩定性等問題形成數值分析分支。

近年來，電腦由數值運算過渡到符號運算，形成電腦代數重要分支，特別是中國數學家吳文俊的機械化數學綱領在機器證明方面是一大突破。

19世紀末到20世紀初，數學也像物理學一樣，迎來了一個激烈的變革時期。一方面人們開始接受G．康托爾的集合論作為統一數學的基礎，但不久又在其中發現有悖論，從而出現了嚴重的數學危機。另一方面，作為未來數學的主要方法——公理化方法由希爾伯特所奠定，他在1899年發表的《幾何基礎》對於20世紀的數學給予很大的啟示。在他的推動下，形成了一個小小的公理化熱潮。正是在這個基礎上形成了結構數學和元數學兩大新領域。20世紀初，數學越來越趨於抽象化。抽象群論的研究、法國數學家勒貝格的測度論和積分論、希爾伯特的積分方程理論、法國數學家弗雷歇的抽象空間理論、代數學的一些公理化理論等相繼出現，連同19世紀末組合拓撲學的建立，預示著以代數學和拓撲學為中心的現代數學翻天覆地的變化。泛函分析的出現大大改變了分析的面貌，而且給量子物理學準備了現成的工具。與以前的數學比較，20世紀數學有如下特點：

1、數學不再只是數論、代數、幾何、分析幾個相對獨立的部分，而是隨著集合論的出現湧現出大量的新學科、新分支、新理論。例如數學基礎與數理邏輯（以及由此分化出來的模型論、遞迴論、證明論）、抽象代數學（包括群論、環論、域論、同調代數學、代數K理論、格論以及各式各樣的代數結構）、一般拓撲學、代數拓撲學、微分拓撲學、拓撲群理論（及其他拓撲代數，包括李群）、代數群理論、測度與積分論、泛函分析、隨機過程論，等等。幾乎所有應用數學和與電腦有關的數學部門都是20世紀的產物，即使是經典的數學部門，面貌也已完全改觀。比如說，19世紀以前的代數學主要研究代數方程及代數方程組的求解問題,19世紀出現了研究代數方程置換群的伽羅瓦理論、線性代數學、不變式理論，而現代的代數學已經是群論、環論、域論及同調代數學等分支，那些經典內容總共也已經占不到百分之幾了。

2、數學不再像過去那樣只是解決特殊問題、尋求特殊演算法的學科，而是在結構的概念下有統一的對象、統一的方法、有自身獨立的問題的獨立學科，它不只是研究數與形，而主要是研究各種結構，其中特別是代數結構、拓撲結構、序結構以及這些結構互相結合所產生的各種多重結構，從而給20世紀數學帶來無比豐富而深刻的內容。結構觀念進一步發展成範疇及函子的概念，對統一數學的思想起著很大的作用。思想的統一及方法的深化，促進許多經典問題的解決。

3、數學的內容越來越複雜、抽象，非但沒有使得它脫離實際，而且從數學本身發展出來的許多觀念給物理學、化學、生物學等提供了許多有力的工具。例如黎曼幾何學及張量分析對於廣義相對論，泛函分析對於量子力學及量子場論，乃至近年來的纖維叢理論、微分幾何學及代數幾何學對於規範場理論，群表示論對於原子結構、核結構、基本粒子分類等，都好像是定做的工具，不只一次引起物理學家的驚異。甚至像1917年發現的拉東變換在四五十年後都對醫學上檢查腫瘤不可缺的X射線層析儀提供理論基礎。第二次世界大戰前後，電子電腦的問世以及許多門應用數學的發展更是為數學的應用開闢了無比廣闊的前景。反過來，實際問題及應用數學又為純粹數學提出來許多新概念、新問題，甚至推動許多經典難題的解決。例如用規範場理論推動四維拓撲學的研究並取得重大突破。

4、隨著電子電腦的發明，無論是純粹數學還是應用數學都受到電子電腦的強烈影響，數值分析已形成一門獨立的數學分支，現在的數學計算方法如果不能在電腦上使用那就要大為減色，許多方法（如單純形法、蒙特卡羅法、有限元方法、卡爾曼濾波等等）的優越性就在於它們能夠與電腦很好地結合。這樣許多應用數學問題可以進行電腦實驗，而逐步得到解決。不僅如此，許多純粹數學問題也在電腦協助之下得到證明，其中最突出的就是1976年阿佩爾及哈肯藉助電腦證明四色猜想。機械化證明可望減輕數學家某些重複、繁瑣的勞動，而集中於更重要的數學問題的解決。

20世紀數學可以第二次世界大戰為界劃分為前後兩期，前期約從1870年到1940年，可以說是現代數學的萌芽時期。數學由以算為主過渡到以研究結構為主，把數學統一在集合論的基礎上，其標誌是數理邏輯、抽象代數學、測度與積分論、拓撲學、泛函分析等五大學科的誕生。到20世紀50年代，布爾巴基學派用數學結構的概念統一數學，陸續出版多卷本《數學原理》，成為以後數學的經典。1940年以後，是現代數學的繁榮時期，純粹數學以拓撲學為中心得到迅猛發展，同時，隨著電腦的出現，應用數學和計算數學也取得空前的進步，對於科學及社會都起著越來越重大的作用。

下面我們從四個方面論述純數學的進展。

一、元數學

20世紀初期，集合論的內在矛盾開始暴露出來，使數學界震動最大的是羅素在1901年發現的悖論。為瞭解決這個矛盾，羅素提出了分支類型論，並在這個基礎上與懷特海合著3大卷《數學原理》（1910－1913）。一個解決悖論的途徑是策梅羅於1908年提出的集合論的公理化，他的公理體系經過後來的補充和修改成為公理集合論的一個公認的基礎。與此同時，對於數學基礎進行了熱烈的爭論，產生了相互對立的邏輯主義、直覺主義和形式主義三大派。以希爾伯特為代表的形式主義企圖把全部數學建立在少數公理的基礎上，然後給公理的無矛盾性一個絕對的證明，這就是所謂證明論。1931年，哥德爾證明了他的著名的不完全性定理，使得希爾伯特所期望的形式系統的絕對完全性的證明根本做不到，從而使數理邏輯完全轉向一個新的方向。

1931年，哥德爾的不完全性定理導致數理邏輯的大發展。首先是20世紀30年代發展起來的一般遞迴函式的概念，1936年圖靈提出了圖靈機的概念，給可計算性一個具體的刻畫。由於不完全性定理出現形式系統中的不可判定問題，特別是群的字的問題不可解與希爾伯特第10問題的否定解決。1938年，哥德爾證明連續統假設的相對無矛盾性，20世紀60年代又發現選擇公理和連續統假設等的相對獨立性，由此產生一系列的數學方面的後果。特別是從20世紀50年代起模型論的誕生，對數學本身也有很大的衝擊，其中主要的是非標準分析的產生以及拓撲斯理論的發表。由於集合論的公理系統不完全，自然考慮加進一些新的公理，其中選擇公理是比較重要的，在代數和分析的許多證明中是不可少的。但是也有一些公理，比如大基數公理，可以匯出所有實數的子集都是勒貝格可測的。數理邏輯的研究又重新受到數學家的重視。

二、結構數學

20世紀上半期主要奠定抽象代數、一般拓撲學、測度和積分理論、泛函分析等分支的基礎，20世紀下半期結構數學的重點是代數拓撲學。

1、抽象代數

從19世紀末起，代數學的面貌發生了根本性改變，這時抽象群的結構理淪和表示理論已經有了一定的發展。1910年，施泰尼茨對於域論進行統一的抽象處理，而最重要的發展是從19世紀末發展起來的結合代數和非結合代數的結構理論，特別是韋德伯恩在1907年證明了線性結合代數的結構定理。在此前後， ．嘉當完成了複數域上的半單李代數的結構定理，並推廣到實半單李代數，同時研究了它們的表示理論，這些都構成了抽象代數的最初萌芽。但是，抽象代數的發展來源於A．E．諾特的理想理論，A．E．諾特通過公理化方法發展了一般理想理論，建立了諾特環及戴德金環的理想的結構理論，並建立結合代數的基礎。阿廷首先把代數的結構理論推廣到環上去，導致了環論的誕生。阿廷等人關於實域的研究解決了希爾伯特第17問題，反映了抽象方法的威力。1930年範德瓦爾登的《近世代數學》一書的出版，標誌著抽象代數學這門學科的誕生。

2、泛函分析

大約同時，泛函分析也作為一門學科正式誕生，它的來源除了意大利和法國的泛函演算之外，還有希爾伯特和他的學生在20世紀初所進行的積分方程的研究。他們引進了l2空間和L2空間，證明了裡斯一菲舍爾定理。裡斯還引進了抽象線性運算元，並定義運算元的範數。他把希爾伯特關於積分方程中的全連續概念推廣到抽象運算元上，這樣，基本建成希爾伯特空間及其線性運算元理論，但一直到1928年才由馮·諾伊曼加以公理化。泛函分析的第三條路線來源於巴拿赫等人的工作，他們主要研究賦範空間，並引進其上的運算元，其中特別是推廣了裡斯的工作，建立了對偶空間的概念。泛函分析的出現不僅推廣了20世紀初期的譜理論，而且後來成為量子力學的合用的數學工具。量子力學的出現，更進一步推動了泛函分析的研究，推動了運算元理論的產生。

3、有限群論

有限群論的主要目標是把所有有限群進行分類，為此我們可以分成兩步走，一步是找出所有的單群（也就是構成所有群的基本單位），再就是把這些單群拼湊起來成為各種各樣的群。

關於有限單群，很久以前就已經知道許多。除了素數階迴圈群外，伽羅瓦已經知道交錯群。1900年左右知道許多矩陣構成的典型群，但是在1955年之前進展不大。1955年謝瓦萊用李代數的方法系統地造出當時已知的所有單群（除了幾個例外），後來別人又利用他的方法得出許多新的無限單群系列，這些都被稱為李型單群。但是這些群並沒有把有限單群包羅完全。除了無限系的單群之外，還有26個零散單群，早在1861年及1873年馬蒂厄已知道其中的5個，1966－1975年間又陸續發現了21個。到1980年初，所有這26個零散單群都已經具體造出來。那麼單群的分類是否大功告成了呢？群論專家大都認為是這樣，不過完全證明仍在發表中。

4、拓撲學

在20世紀最初30多年中，拓撲學經曆了相當長的混亂時期，出現了許多同調理論，也開拓了一些應用領域，其中特別值得指出的是拓撲學與分析的聯絡。1925年莫爾斯建立了大範圍變分法，即變分問題的莫爾斯理論，這個理論把臨界點（奇點）指數與貝蒂數聯絡起來。1931年德．拉姆證明德．拉姆公式，把微分形式與同調聯絡起來。這時由於抽象代數學的發展，在A．E．諾特的影響下，形成了同調群的概念，由此把幾何的結構和代數的結構聯絡起來。到第二次世界大戰末期，艾倫伯格和斯廷羅德將同調論公理化，從而結束了同調論的混亂局面。後來又發現了許多廣義的同調理論（如K理論），給拓撲學乃至整個數學提供了許多強有力的武器。

拓撲學的一個方向是同倫論，龐加萊已經提出了基本群的概念，後來切赫和胡雷維奇先後提出同倫群的觀念。同倫群包括著拓撲空間的豐富資訊，但是，它是極為難計算的群。常常很片面的進展都給拓撲學乃至整個數學帶來極大的推動，例如博特用莫爾斯理論得出典型群同倫群的周期性定理，成為K理論的一個來源。

拓撲學的一個自然對象是流形，流形可以看成是一塊一塊歐氏空間粘接在一起形成的東西。假如這些塊通過線性映射粘接在一起，就成為分段線性流形；假如這些塊通過可微映射粘接在一起，就得出微分流形。

一個著名的、長期沒有解決的猜想——主猜想，它宣稱任何分段線性流形必定存在本質上是唯一的三角剖分（即線性粘接的方式）。顯然對於許多流形，主猜想成立，但是仍然存在反例。另外，1966－1967年，還證明了存在拓撲流形沒有分段線性結構。

微分流形是應用範圍極廣的對象。1956年米爾諾發現微分流形7維球面S7具有不同的微分結構，這是拓撲學的一個重大成就，它標誌著微分拓撲學的誕生。其後不久，又發現有的分段線性流形沒有微分結構，而反過來，任何微分流形都存在本質上是唯一的分段線性結構是早就知道的事。

另外一個重要的猜想是龐加萊猜想，即單連通、定向、閉三維流形一定是三維球面。至今，這個猜想未被證實也沒有被否定。但是廣義的龐加萊猜想，5維以上的相當的猜想在1960年左右卻獲得了證實。1982年，4維的猜想也得到證明。

近年來，流形上的分析——奇點理論、動力系統（常微分方程）理論、葉狀結構理論等取得很大的發展。托姆從奇點理論出發，發展了突變理論，在不同程度上可以解釋許多自然現象及社會現象。

三、結構數學對經典數學的衝擊

20世紀發展起來的代數及拓撲方法對於古老的學科起著極大的推動作用。其中結構數學對於代數數論、代數幾何學、多複變函數論、抽象調和分析、大範圍微分幾何學等分支起著決定性的改造作用，從而極大地擴充了它們的範圍。由此，導致許多經典問題取得突破乃至完全解決。

1、微分流形的幾何學

組合拓撲學由於群的概念的引進，正式成為代數拓撲學。20世紀40年代同調論的公理化，統一了同調論的基礎，並開闢了以後廣義上同調論的發展途徑。同時，同倫論的興起，豐富了拓撲學的內容，而且使得拓撲學成為數學發展的重要工具。其中纖維叢及層概念的引入起著決定性作用。20世紀50年代以後，對於流形的研究取得了重要的突破，1956年發現了球面上的不等價的微分結構，證明了廣義龐加萊猜想，解決了主猜想，並發展了大範圍的動力系統理論。對於微分流形的研究，促進了奇點理論的發展，同時解決了一系列與微分幾何學有關的拓撲問題，並且發展了葉狀結構理論。

2、古典分析

新學科的發展給古典分析提供了重要的工具，其中包括不動點定理、拓撲度的觀念，尤其是廣義函數論大大推動了偏微分方程理論的發展。在微分流形上，考慮微分運算元促使霍奇理論的產生，這個理論把流形的拓撲性質與分析性質結合起來，它與黎曼一羅赫定理共同深化為阿蒂亞一辛格理論，阿蒂亞一辛格理論是引進偽微分運算元的主要推動力，偽微分運算元不僅包含線性微分運算元，而且包含了以前研究的奇異積分運算元，從而使線性偏微分方程理論系統化，這套理論後來又推廣為傅立葉積分運算元理論。

3、代數幾何學

交換環理論給代數幾何學打下了牢固的基礎。從範德瓦爾登、韋伊、紮裡斯基一直到塞爾、格羅唐迪克，不僅發展了抽象代數幾何學，而且解決了一系列經典問題，其中特別是廣中平枯解決了特徵0的代數簇的奇點解消問題，而且建立了算術代數幾何這一前沿學科，並導致一系列重要猜想的解決。1974年，德利涅成功地證明了韋伊猜想，這是不定方程理論最重大的成就。1983年，法爾廷斯證明了莫德爾猜想，這是丟番圖幾何的中心問題之一。1994年懷爾斯取得世紀性的成就，證明了費馬大定理。

4、代數數論

19世紀末，希爾伯特已把當時代數數論最主要的成果整理在他的《數論報告》（即《代數數域的理論》）中，而且發展了類域的概念，給出一系列類域論的猜想，並證明了許多特殊的情形。這些結果和猜想成為20世紀前半葉代數數論發展的指南。如希爾伯特類域的推廣、相對阿貝爾擴張具有唯一的類域、克羅內克青春之夢等到1920年都陸續被高木貞治等人解決。到1927年阿廷證明了一般互反律，從而完成了阿貝爾類域論的理論。20世紀30年代到50年代，在抽象代數、同調代數等工具的協助下，類域論可以用漂亮的代數理論和上同調理論來表達，成為數學王國中一顆光彩奪目的明珠。

類域論不僅僅在原來代數數域的範圍中，許多定理可以類推到代數閉域上單變數代數函數域上。另外，亨澤爾發現了p-adic數，對於各種代數數域也都有相應的“局部域”，相應地建立了各種局部域的阿貝爾擴張理論，此即局部類域論。20世紀60年代，局部類域論可以用形式群的工具來簡明地表示出來。

其後，類域論向非阿貝爾類域論發展。這裡面，自守形式、代數幾何、群表示論、上同調混合在一起。朗蘭茨等人發展了一套體系，被稱為朗蘭茨哲學，它極大地影響了整個數學的發展。

四、經典數學

20世紀許多經典問題也取得重大進展，下面列舉其中一些重要項目。

1、解析數論

（1）黎曼猜想

（2）素數定理的初等證明

（3）華林問題與哥德巴哈猜想

（4）密率方法與篩法

（5）三角和方法

2、丟番圖逼近與超越數論

（1）解決希爾伯特第7問題

（2）代數數的最佳逼迫

（3）高斯關於類數1的虛二次域猜想

（4）卡塔蘭方程

（5）ζ（3）為無理數

3、單複變函數論

（1）奈望林納理論

（2）擬共形映射

（3）比伯巴哈猜想

4、實變函數論

傅立葉級數為幾乎處處收斂和發散的問題，如盧津猜想。

5、微分方程與變分法

（1）極小曲面、普拉托問題

（2） KdV方程

（3）線性偏微分方程的解的存在性、唯一性

雖然它們大都與結構數學無關，但是其中一些問題的進步仍可以看出結構數學的影響。

當然，經典數學不僅限於上述幾個分支，另一個活躍的分支是機率論。

機率論雖然已有300年的曆史，但到20世紀初，人們對機率只有一些模糊的認識，機率的計算也沒有很嚴格的基礎。當時只有一些古典機率的基本概念以及大數律及中心極限定理的原始形式。20世紀初嚴格地證明了中心極限定理。1909年， ．波萊爾得出強大數定律，馬爾可夫開始了馬爾可夫鏈的研究。到20世紀20年代，建立了大數律與中心極限定理成立的充分必要條件，可以說是古典機率論的最終完成。但是，這個時期對於機率的理解有著很大的不同，對於機率的數學基礎，也有不同的看法，一直到 ．波萊爾有意識地把機率論建立在測度論的基礎上，建立了可數集的機率法，填補了古典機率以及幾何機率之間的空白，機率論才算有了可靠的數學基礎。1933年，柯爾莫戈羅夫把機率論公理化，機率論才正式成為一門獨立學科。20世紀20年代到40年代，是機率論的英雄時代，這個時期形成了以萊維為代表的法國學派，柯爾莫戈羅夫、辛欽等為代表的原蘇聯學派以及稍後的美國學派，這個時期研究了獨立隨機變數和的極限定律以及相關的隨機變數情形下大數律與中心極限定理的推廣，而最重要的一個方面是隨機過程。隨機過程的最典型的例子是布朗運動，在愛因斯坦1905年的物理解釋的基礎上，N．維納首先從數學上建立了布朗運動的理論模型，其後萊維從馬爾可夫過程觀點研究布朗運動，提出假定未來與過去無關這種強馬爾可夫性質。後來發現馬爾可夫過程的轉移機率滿足微分積分方程。第二次世界大戰後，機率論發展了隨機過程和隨機分析等重要分支，在理論和實踐方面起著重大作用。例如當前發展的熱門全能數學中，隨機微分方程起著決定性作用。

20世紀的應用數學和計算數學也獲得了巨大發展。除了經典的應用數學之外，20世紀新產生了許多新興領域，特別是統計數學、運籌學、控制理論以及與電腦有關的電腦科學與計算數學等。

作為機率論的應用是數理統計，它來源於優生學。20世紀初，皮爾遜構造相關性的理論，建立了生物計量學的基礎。他引進了 分布，開闢了參數檢驗理論，後來戈塞特開闢小樣本檢驗方法，這些都是建立在古典機率基礎上的。20世紀20年代，費希爾一系列的理論與實踐活動促進了數理統計的極大發展，他的主要貢獻是假設檢驗和實驗設計，他還發展了方差分析方法的研究。他的數學不夠嚴格，後來在機率論公理化的基礎上，內曼等人奠定了統計假設檢驗的基礎。實驗設計是應用非常廣泛的方法，它與組合理論密切相關，特別涉及正交拉丁方的存在問題以及區組設計理論，這些都已經成為組合理論的獨立分支。數理統計的另外一個發展是瓦爾德開創的統計判斷函數理論，在第二次世界大戰中，他發展了序貫分析法，有極大的實用價值。

20世紀的數學應用不僅在物理科學方面繼續深人發展，而且擴充到生物科學、經濟科學、管理科學等各個方面。20世紀40年代以後，隨著電腦的發展，應用數學與計算數學密切相關地發展，解決了一系列的重要問題。它不僅應用基礎數學，而且用到新興的抽象學科，如拓撲學、抽象代數、泛函分析等等。反過來，應用數學也促進了純粹數學的發展，甚至直接促使純粹數學問題的解決，如1982年由楊振寧一米爾斯理論導致四維龐加萊猜想的證明。在第二次世界大戰中發展起來的運籌科學，其中最重要的分支是規劃理論，特別是線性規劃理論與演算法複雜性有著密切的關係，在實用上也有著多方面的應用。1948年發展起來一整套資訊理論，其中編碼問題與代數問題密切相關。由於衛星和火箭的控制問題產生了控制理論、應用抽象代數、泛函分析、隨機過程理論乃至微分幾何學、代數幾何學。1958年，龐特裡亞金等人提出最優控制所滿足的必要條件，而形成集中參數系統的最優控制理論。1960年，卡爾曼等提出遞推濾波演算法，適合於電腦進行計算，便於應用。對策論的發展較早，1944年馮·諾伊曼等的《對策論與經濟行為》一書出版，是對前人關於對策模型研究的總結，其中給對策以公理化的定義，奠定了這門科學的基礎。與此同時，他們也發展了數理經濟學的一個方向。

隨著數學應用的發展，對電腦的要求也越來越高，大量數值計算使人們對於研究數值計算方法更加重視。1947年，馮·諾伊曼等人發表“高階矩陣的數值求逆”，標誌著數值分析這門學科的誕生。數值分析最常用的方法是解線性方程組，除了高斯消去法之外，還發展了迭代法，並研究一類應用價值很廣的疏鬆陣列以及廣義逆的概念。為瞭解偏微分方程，常用差分法以及庫朗等人在20世紀20年代奠定基礎的有限元法，這個方法是應用範圍最廣的方法。其他還有樣條函數、快速傅立葉變換以及線性規劃的單純形方法及其種種改進。20世紀60年代，隨著計算數學的實踐，出現了計算複雜性分支，它對於演算法進行了定量的評價。

20世紀初，大部分數學工作是在德國和法國進行的，法國數學的領袖人物是龐加萊，其後 ．波萊爾、勒貝格、阿達馬等人在函數論方面有著重要的國際影響。德國的數學主要是以希爾伯特為首的格丁根學派，希爾伯特的研究一直影響到20世紀30年代，德國各地也有許多小的中心，如柏林、漢堡等地都進行著活躍的數學研究。在希特拉上台之前，德國一直處於世界的領先地位。第一次世界大戰之後，A．E．諾特的學派促成抽象代數的誕生以及拓撲學的代數化，而同時在法國，只有 ．嘉當進行李群與微分幾何學的孤立的研究。第二次世界大戰以後，以布爾巴基學派為核心的法國數學在世界上居於主導地位，尤其對結構數學的發展起著決定性作用。

19世紀的英國，雖然有一些著名的數學家，但落後於歐洲大陸，長期以來，數學的發展停滯不前。19世紀末，揚夫婦去格丁根學習，開始把新數學引進英國，一直到20世紀初，哈代和李特爾伍德在數論及古典分析方面開始做出國際水平的貢獻。20世紀30年代以後，英國數學家開始在拓撲學、代數幾何學以及抽象代數等方面做出突出的貢獻。

19世紀70年代以後，意大利數學家在到德、法兩國去學習之後，本國數學有了巨大的發展。19世紀末到20世紀初，許多意大利數學家在微分幾何學、代數幾何學、泛函分析、實變函數論等方面做出了第一流的貢獻。意大利數學在20世紀30年代到50年代趨於衰微，其後，又得到複興，在各個領域都有不少貢獻，最突出的是在分析方面，尤其是偏微分方程。

20世紀一系列的民族學派興起，美國數學家先是向德國、法國學習，產生了一些優秀的數學家，如N．維納及G．D．伯克霍夫。20世紀30年代以後，一大批歐洲數學家移民美國，使得美國在二戰後成為重要的數學大國。另一個數學大國原蘇聯則是以盧津為首的莫斯科學派最為主要，20世紀20年代許多人到德國等地留學，出現了一批優秀的拓撲學家、代數學家、分析學家。原蘇聯的機率論尤其出色。其後，在新興的一些學科一度落後，從20世紀60年代起得到恢複和振興，形成門類齊全的數學體系。波蘭數學從第一次世界大戰以後開始形成自己的學派，他們著重研究集合論、邏輯、拓撲學和泛函分析以及實分析，在這些領域處於國際領先地位。但第二次世界大戰中，半數以上的數學家慘遭殺害，致使波蘭數學元氣大傷。日本的數學從19世紀末起開始向歐洲學習，20世紀初已經出現像高木貞治這樣的數學家，其後日本數學逐步形成了一個門類齊全的數學體系。第二次世界大戰以後，出現不少世界第一流的數學家。北歐諸國產生了一批重要的數學家，但他們的興趣多偏重於經典數學。匈牙利給世界提供了大批優秀數學家，如裡斯和馮·諾伊曼。第二次世界大戰以後，拉丁美洲、印度等國也出現一些重要的數學家。

在第二次世界大戰之前，數學家之間的交流已經開始活躍起來，除了四年舉行一次的國際數學家大會之外，地區性的會議及專業的會議也舉行過一些。第二次世界大戰以後，由於交通工具的改進，各種各樣的會議層出不窮，大大促進了數學的國際化。20世紀數學的出版物也以指數形式增長，每年發表的數學論文從1900年的大約1500篇增長到1980年的4萬至5萬篇，這種龐大數量的文獻使數學家難以掌握，於是逐步產生一些新的文摘雜誌。數學家的交流方式越來越變得口耳相傳而不是通過閱讀文獻及書刊來進行。