數學三次危機（四）第一次數學危機_數學

畢達哥拉斯學派相信任意兩條線段a與b都可公度，就是指存在一條小線段d作為a與b的共同度量單位，使得a=nd，b=md。這意味著b/a=m/n，其中m與n都是整數。因此，當畢達哥拉斯學派相信兩條線段a與b可公度時，用我們現在的語言表達就是指任意兩條線段的比是整數或分數。簡言之，是一個有理數。因此希帕索斯不可公度量的發現就是指，正方形對角線與邊長的比既不是一個整數，也不是一個分數，簡言之，不是一個有理數，而是一個當時人們完全不瞭解的全新的數。這類數後來被稱為無理數。順便提一句，古希臘人使用“有理”、“無理”的術語，其原意是“可比的”與“不可比的”。後來轉譯過程中，在“可比的”之義外，派生出“有理（合乎情理）的”與“無理的”的含義。再後來，前一義漸漸被人遺忘，就只剩下後來的含義。於是，“可比數”與“不可比數”轉成：前者是合理數，後者是不合理數。最後在轉譯成中文時就有了“有理數”與“無理數”的稱法。

 

我們現在清楚，希帕索斯發現的√2是人類曆史上誕生的第一個無理數。以現在人的眼光來看，不可通約量或無理數的發現，或許是畢達哥拉斯學派最大的貢獻。然而，在當時它的發現為什麼會被古希臘人認為是悖論並引發如此嚴重的問題呢。我們有必要對此進一步說明。

 

首先，這一發現動搖了畢達哥拉斯學派的數學與哲學根基，它將推翻畢達哥拉斯學派“萬物皆數” 的基本哲學信條。不可通約量的發現表明有些量不能用數來表示，這就宣告他們“一切事物和現象都可以歸結為整數與整數的比”的數的和諧論的破產；而他們建立在數的和諧論上的對宇宙本質的認識也是虛妄的。

 

其次，這一發現摧毀了建立在“任意線段都是可通約的”這一觀點背後的數學觀念。具體而言，畢達哥拉斯學派接受一種數學原子論的觀點。這種質樸的觀念認為：線是由原子次第串連而成，有如項鏈是由一串珠子組成一樣。原子可能非常下，但都質地一樣，大小一樣，它們可以作為度量的最後單位。這一認識構成了畢達哥拉斯學派的幾何基礎。

 

註：“萬物皆數”的數學與哲學根基被動搖；任意兩數可通約這一觀點背後的數學觀念被摧毀。

 

另外，早期的希臘數學家認為任何量都可公度還基於另一個原因。那時，有一個比較數量的方法，即今天的輾轉相除法。假如A和B是兩條線段的長，根據數學原子論，他們相信按照輾轉相除法做下去，總會碰到一個正整數，使得A和B都是這一正整數的若干整數倍。

 

更重要的是，這一發現摧毀了人們通過經驗與直覺獲得的一些常識。根據經驗以及各式各樣的實驗，任何量，在任何精度的範圍內都可以表示成有理數。這不但是古希臘人普遍接受的信仰，就是在今天，測量技術已經高度發展時，這個斷言也毫無例外是正確的。對於日常生活來說，有理數是足夠用了。對於科學研究而言，僅有理數也夠用了。就度量的所有實際目的來說，有理數都是完全夠用了。

 

而不可通約量的存在，意味著當我們用輾轉相除法比較兩線段的長度時，這個過程將會無限進行下去，永無休止；意味著我們即便有一根刻有非常非常精細刻度的理想的尺子，我們也無法量出所有長度，因為當我們面對不可通約量時，我們需要無限次地看尺子上的刻度，而且永遠看不完；意味著在比較兩條線段的長度時，有時候你永遠也找不到一個共同的度量單位；意味著就度量的所有實際目的來說完全夠用的有理數，對數學來說卻是不夠的……

 

簡言之，這意味著，曾為人們的經驗所確信的，完全符合常識的許多論斷都被小小的√2的存在而推翻了。這應該是多麼違反常識，多麼荒謬的事。要把這種“荒謬”的事承認下來是多麼的困難啊。它簡直把以前所知道的事情根本推翻了。事實上，不可通約量發現不但對畢達哥拉斯學派是一個致命的打擊，它對於當時所有古希臘人的觀念都是一個極大的衝擊。

 

不可通約量的發現所造成的影響，不但體現在猛烈衝擊並摧毀了許多傳統觀點與畢達哥拉斯學派所堅持的觀念上，而且表現在它對具體數學成果的否定。事實上，畢達哥拉斯學派的許多幾何定理證明都是建立在任何量都可通約的基礎上的。如他們關於相似的幾何定理就是根據這一假設論證的。舉一個例子，他們曾經證明了這樣一個定理：等高的三角形的面積之比等於它們的底邊之比。如圖，兩個三角形ABC和ADE，它們的底邊BC和DE在同一直線MN上。因而兩者等高。隨後，畢達哥拉斯學派通過下面的方式證明了其面積之比等於對應的底的比。

由於一切量都可公度，所以按照可公度的定義，可設BC為一公度單位的m倍，而DE為此公度單位的n倍。把BC等分成m份，並與頂點A串連，於是得到m個小三角形；把DE等分成n份，於是得到n個小三角形。這些小三角形等底等高，面積相等。而ABC的面積等於m個這種小三角形，ADE的面積等於n個這種小三角形。因此，可以推出：三角形ABC的面積 : 三角形ADE的面積 = m : n = BC : DE。

 

然而，由於不可公度量的發現，這一證明就完全失效了。因為建立證明該的基礎已經坍塌了。於是，建立在“任何兩條線段都可通約”基礎上的數學結論都失去了根基，所有那些建立在這一假設基礎上的證明都被粉碎了，已經確立的幾何學的許多定理不得不隨之瓦解。而最令人尷尬的是，人們是相信這些定理的正確性的，只是隨著不可公度量的發現，他們拿不出有力的證據來支援他們的觀點。這就是人們有時所謂的希臘幾何的“邏輯恥辱”。

 

面對不可公度量，古希臘人陷入困惑與混亂之中。更糟糕的是，面對由不可公度量帶來的多重毀滅性打擊，人們竟然毫無辦法。這就在當時直接引起人們認識上的危機，從而導致了西方數學史上一場大的風波，史稱“第一次數學危機”。