矩陣十題【四】 HDU 3306 Another kind of Fibonacci

標籤：矩陣

題目連結：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3306

題目大意：A(0) = 1 , A(1) = 1 , A(N) = X * A(N - 1) + Y * A(N - 2) (N >= 2)；給定三個值N，X，Y求S(N):S(N) = A(0)^2 +A(1)^2+……+A(n)^2。

 學了這幾題，還是不太很懂，後來看題解，漸漸也是懂了一點。

題目的意思是求出A(0)^2 +A(1)^2+……+A(n)^2

考慮1*4 的矩陣【s[n-2],a[n-1]^2,a[n-2]^2,a[n-1]*a[n-2]】

我們需要找到一個4×4的矩陣A，使得它乘以A得到1×4的矩陣

【s[n-1],a[n]^2,a[n-1]^2,a[n]*a[n-1]】

即：【s[n-2],a[n-1]^2,a[n-2]^2,a[n-1]*a[n-2]】* A = 【s[n-1],a[n]^2,a[n-1]^2,a[n]*a[n-1]】

= 【s[n-2]+a[n-1]^2 , x^2 * a[n-1]^2 + y^2 * a[n-2]^2 + 2*x*y*a[n-1]*a[n-2] ,

a[n-1]^2 , x*a[n-1]^2 + y*a[n-2]a[n-1]】

可以構造矩陣A為：

1     0    0    0

1    x^2   1    x

0    y^2   0    0

0    2xy   0    y

故：【S[0],a[1]^2,a[0]^2,a[1]*a[0]】 * A^(n-1) = 【s[n-1],a[n]^2,a[n-1]^2,a[n]*a[n-1]】

所以：【S[0],a[1]^2,a[0]^2,a[1]*a[0]】 * A^(n) = 【s[n],a[n+1]^2,a[n]^2,a[n+1]*a[n]】

若A = (B * C ) 則AT = ( B * C )T = CT * BT

#include<stdio.h>#include<string.h>#define N 4#define M 10007struct Matrix{    __int64 a[N][N];}res,tmp,ans,origin;Matrix A={1,0,0,0,          1,0,0,0,          1,0,0,0,          1,0,0,0};   //相當於那個1*4的矩陣的轉置,即[s0,a1^2,a0^2,a1*a0]TMatrix mul(Matrix x,Matrix y){    int i,j,k;    memset(tmp.a,0,sizeof(tmp.a));    for(i=0;i<4;i++)        for(j=0;j<4;j++)            for(k=0;k<4;k++)            {                tmp.a[i][j]+=(x.a[i][k]*y.a[k][j])%M;                tmp.a[i][j]%=M;            }    return tmp;}Matrix quickpow(int k){    int i;    memset(res.a,0,sizeof(res.a));    for(i=0;i<4;i++)        res.a[i][i]=1;    while(k)    {        if(k&1)            res=mul(res,origin);        origin=mul(origin,origin);        k>>=1;    }    return res;}int main(){    int n,x,y;    while(scanf("%d%d%d",&n,&x,&y)!=EOF)    {        x%=M;        y%=M;        memset(origin.a,0,sizeof(origin.a));        origin.a[0][0]=origin.a[0][1]=origin.a[2][1]=1;        origin.a[1][1]=(x*x)%M;        origin.a[1][2]=(y*y)%M;        origin.a[1][3]=(2*x*y)%M;        origin.a[3][1]=x;        origin.a[3][3]=y;        res=quickpow(n);  //求構造出的矩陣A^n        ans=mul(res,A);   //A^n * [s0,a1^2,a0^2,a1*a0]T        printf("%I64d\n",ans.a[0][0]%M);    }    return 0;}