矩陣快速冪 ——（遞推運算式）

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 矩陣快速冪

 

 首Crowdsourced Security Testing道矩陣 

     矩陣（Matrix）是一個按照長方陣列排列的複數或實數集合；

     矩陣乘法：

定義：設A為 m×p 的矩陣，B為 p×n 的矩陣，那麼稱 m×n 的矩陣C為矩陣A與B的乘積，記作 C=A×B，其中矩陣C中的第 i 行第 j 列元素可以表示為：


知道矩陣乘法之後，比如菲波那切數列就是一個遞推式，    F(n)=F(n-1)+F(n-2); 因為矩陣乘法，所以
設 矩陣 A為                  矩陣 B 為                  則  A*B  則為    F(n)=        F(n-1)*1+F(n-2)*1因為我們需要的矩陣為  A*B  的矩陣為                                 所以反向推算到 B 矩陣 ，則 B矩陣是    ，所以 F(n) 的矩陣為  初始矩陣   *   (B^(n-2))   n>=3;所得到的矩陣  A[0][0]  就是F(n) 的值，時間複雜度最佳化的地方就是在冪指數的那部分快速冪，節約了時間。所以關鍵就在於  從 遞推式構造矩陣 比如：
這個構造出來的矩陣就是
       自己可以寫出這個矩陣，就明白了；下面給一個簡單的題目，練練手。                                                                                                               

給一個簡單的練習題：   點擊開啟連結

#include <cstdio>#include <cstring>#include <cctype>#include <cmath>#include <set>#include <map>#include <list>#include <queue>#include <deque>#include <stack>#include <string>#include <bitset>#include <vector>#include <iostream>#include <algorithm>#include <stdlib.h>using namespace std;typedef long long LL;const int INF=2e9+1e8;const int MOD=1000007;const int MAX_SIZE=1005;const int MM=3;LL f1,f2,a,b,c,n;struct Mat{    LL maze[MM][MM];    void set_empty()    {        memset(maze,0,sizeof(maze));    }};Mat unit_Mat={    1,0,0,    0,1,0,    0,0,1};   //  定義一個單位矩陣，任何一個矩陣 乘以 單位矩陣，其值等於本身；Mat operator *(Mat a,Mat b)  // 重載運算子  * //  定義兩個矩陣的乘法，根據矩陣乘法的定義來寫{    Mat c;    c.set_empty();  // 一定要設定為空白。清零數組；不然後面加等一個數會有垃圾值    LL i,j,k;    for(i=0; i<MM; i++)    {        for(j=0; j<MM; j++)        {            for(k=0; k<MM; k++)            {                c.maze[i][j]+=a.maze[i][k] * b.maze[k][j];                c.maze[i][j] %= MOD;            }        }    }    return c;}Mat operator^(Mat a,LL N)  //  最佳化時間的就在此處，//  類似與一般的int 數位快速冪求值，思想是一樣的。不懂可百度快速冪。{    Mat c=unit_Mat;    while(N)    {        if(N&1) c=a*c;        a=a*a;        N>>=1;    }    return c;}void solve(){    Mat A,B;    B.set_empty();    A.set_empty();    B.maze[0][0]=b,B.maze[1][0]=a,B.maze[2][0]=c;    B.maze[0][1]=B.maze[2][2]=1;    B=B^(n-2);    A.maze[0][0]=f2,A.maze[0][1]=f1,A.maze[0][2]=1;    LL ans=0;    Mat C=A*B;    printf("%lld\n",(C.maze[0][0]+MOD)%MOD);}int main(){    int times;    scanf("%d",&times);    while(times--)    {        scanf("%lld %lld %lld %lld %lld %lld",&f1,&f2,&a,&b,&c,&n);        if(n == 1)            printf("%lld\n",(f1+MOD)%MOD);        else if(n == 2)            printf("%lld\n",(f2+MOD)%MOD);        else solve();  // 其上位特判 因為公式的定義域是  n>=3；    }    return 0;}

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