二維圖形的矩陣變換（一）——基本概念

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基本的二維變換可包括旋轉、縮放、扭曲，和平移四種，

                    

而這些幾何運算則可以轉換為一些基本的矩陣運算：

    

這幾個變換都是線性，但平移運算不是線性，不能通過2*2矩陣運算完成。若要將點 (2, 1)在 x 方向將其平移 3 個單位，在 y 方向將其平移 4 個單位。 可通過先使用矩陣乘法再使用矩陣加法來完成此操作。

    

綜合這幾種基本運算，數學家們將其統一為一個3*3矩陣，儲存形式如下：

    

由於表示仿射變換的矩陣的第三列總是（0，0，1），在儲存矩陣的時候，大多隻存成一個2*3的數組。

 

變換的原點

二維變換的參考點是非常重要的，例如如下旋轉的結果就大不相同：

        

當然，有一種特殊的變換除外。那就是平移變換，無論原點是什麼其變換的結果都是沒有變化的。

 

複合變換

複合變換的矩陣可通過將幾個單獨的變換矩陣相乘而得到，這就意味著任何仿射變換的序列均可儲存於單個的 Matrix 對象中。

    

需要注意的是，複合變換是有順序的，一般說來，先旋轉、再縮放、然後平移，與先縮放、再旋轉、然後平移是不同的。

 

逆矩陣

可以根據一定的運算求出某個矩陣的逆矩陣，這個矩陣可以用來求出新的座標點在原座標系的位置。但需要注意的是，並非所有矩陣都是可逆的，可逆矩陣要求是非奇異矩陣。

 

線上預覽

微軟有一個幾何變換的線上預覽的頁面，可以非常直觀的協助我們理解這些變換，感興趣的朋友不妨試試。

http://ie.microsoft.com/testdrive/Graphics/hands-on-css3/hands-on_2d-transforms.htm

 

小結

矩陣運算其實是非常基礎的數學知識，在圖形學中應用得還是非常廣泛的，但大學學的時候往往不知道幹嘛用，現在用的時候卻又忘了啥原理了。本文這裡只是介紹了一些矩陣運算的基本概念，具體詳細的內容可以參考下下面的這些參考資料。下一篇文章再簡單的介紹一下矩陣變換的實際使用。

 

參考資料：

1. http://msdn.microsoft.com/zh-cn/library/8667dchf(v=vs.110).aspx
2. http://msdn.microsoft.com/zh-cn/library/ms750596(v=vs.110).aspx
3. http://www.zhangxinxu.com/wordpress/2012/06/css3-transform-matrix-%E7%9F%A9%E9%98%B5/
4. http://netclass.csu.edu.cn/NCourse/hep089/Chapter6/CG_Txt_6_011.htm
5. http://www.zhangxinxu.com/wordpress/2012/06/css3-transform-matrix-%E7%9F%A9%E9%98%B5/