矩陣樹定理

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引用：72888138

1、無向圖

一個圖的鄰接矩陣G：對於無向圖的邊(u,v)，G[u][v]++,G[v][u]++

一個圖的度數矩陣D：對於無向圖的邊(u,v)，D[u][u]++,D[v][v]++;

而通過這兩個矩陣就可以構造出圖G的基爾霍夫矩陣：C=D-G.

Matrix Tree定理：將圖G的基爾霍夫矩陣去掉第i行和第i列(i可以取任意值，可以證明所得到的結果相同)，得到(n-1)*(n-1)的矩陣，

                                  對這個矩陣進行行列式的值求解，abs(det(A))即為圖G的產生樹個數。

求解矩陣行列式的時候，計算常數k時為了避免精度丟失，可以通過計算逆元進行求解(不需要模數時，mod一個大質數即可).

2、有向圖

樹形圖：以i點為根節點的樹形圖有(n-1)條邊，從i節點出發可以到達其他所有(n-1)個節點.

定義： 有向圖的鄰接矩陣G：對於有向圖的邊(u,v)，G[u][v]++.

              有向圖的度數矩陣D：對於有向圖的邊(u,v)，D[v][v]++.

              尤其需要注意的是：有向圖的度數矩陣指的是一個點的入度，而不是出度。

              而有向圖的基爾霍夫矩陣的構造方式是一模一樣的：C=D-G.

有向圖Matrix Tree定理：

             將有向圖G的基爾霍夫矩陣去掉第i行和第i列，得到(n-1)*(n-1)的矩陣，

             對這個矩陣進行行列式的值求解，abs(det(A))就是以i為根的樹形圖的個數。

 

矩陣樹定理