最大流學習筆記（3）-推送重貼標籤演算法一

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1 預流：預流是一個$V\times V \rightarrow  R$的函數$f$，該函數對於每個節點$u\in V-\{s\}$滿足容量限制條件和下面的性質：

$\sum_{v\in V}f(v,u)-\sum_{v\in V}f(u,v)\geq 0$

定義$e(u)=\sum_{v\in V}f(v,u)-\sum_{v\in V}f(u,v)$為進入節點$u$的超額流。如果$e(u)>0$，稱$u$溢出

 

2 高度函數的定義：設G是一個流網路，如果函數$f:V\rightarrow N$滿足$h(s)=|V|,h(t)=0$,且對任意的邊$(u,v)\in E_{f}$，有$h(u)\leq h(v)+1$,那麼$h$是一個高度函數

 

3 對於任意兩個節點$u,v\in V$,如果$h(u)>h(v)+1$，那麼$(u,v)\notin E_{f}$

 

4 推送重貼標籤演算法的思想是在演算法的任何時候，維護一個預流$f$和高度函數$h$，並且使用推送操作和重貼標籤操作來進行更新。

 

5 推送操作：如果$u$是一個溢出節點，$c_{f}(u,v)>0$,且$h(u)=h(v)+1$，那麼推送操作$PUSH(u,v)$作用於節點$u,v$。設節點$u$的超額流存放在$u.e$,高度存放在$u.h$。下面是推送操作的虛擬碼：

 

每次從節點$u$推送到節點$v$的流量為$\Delta _{f}(u,v)=min(u.e,c_{f}(u,v))$，保證不會使得$u.e$變為負數，同時超過$c(u,v)$.

如果在一次$PUSH$ 操作後，$(u,v)$達到飽和狀態，即$c_{f}(u,v)=0$，那麼稱此次推送操作為飽和推送，否則為非飽和推送。

 

6 從節點$u$到節點$v$的一個非飽和推送之後，節點$u$將不再溢出。

 

7 重貼標籤操作：如果節點$u$溢出，且對於所有的邊$(u,v)\in E_{f}$，有$u.h\leq v.h$，那麼此時將進行重貼標籤操作$RELABEL(u)$。

這個操作被調用時，$E_{f}$中至少包含一條從$u$出發的邊。因為$e(u)=\sum_{v\in V}f(v,u)-\sum_{v\in V}f(u,v)>0$，所以至少有一個$v$使得$(v,u).f>0$，所以至少有一條邊$(u,v)\in E_{f}$。

 

8 演算法的整體流程：

（1）初始化

（2）主迴圈

 

9 設$f$為流網路G的一個預流，$h$為高度函數。如果一個節點$u$溢出，那麼要麼可以對$u$進行推送操作，要麼可以對$u$進行重貼標籤操作。

 

10 在GENERIC-PUSH-RELABEL的整個過程中，每個節點的高度不會減少，且每次重貼標籤操作會使得$u$的高度至少增加1.

 

11 在GENERIC-PUSH-RELABEL的整個過程中，將始終維持$h$是一個高度函數

 

12 在GENERIC-PUSH-RELABEL的整個過程中，不存在從源點到匯點的路徑。

 

13 如果GENERIC-PUSH-RELABEL演算法能夠終止，那麼計算出的$f$是一個最大流。

 

以下為證明

9的證明

對於任意殘存邊$(u,v)$有$h(u)\leq h(v)+1$。如果不能對$u$進行推送操作，那麼對任意的$(u,v)\in E_{f}$有$h(u)<h(v)+1$，即$h(u)\leq h(v)$，因此可以對$u$進行重貼標籤操作。

 

11的證明

（1）初始時，$h$ 是一個高度函數；

（2）重貼標籤操作作用於$u$後，對於所有的$(u,v)$仍然滿足$h(u)\leq h(v)+1$。對於進入$u$的邊，比如$(w,u)$，在重貼標籤之前有$w.h\leq u.h+1$,之後有$w.h< u.h+1$。因此重貼標籤操作將保持$h$仍然為高度函數。

（3）$PUSH(u,v)$操作之後可能增加一條邊$(v,u)$，$v.h=u.h-1<u.h+1$，因此$h$仍然是高度函數。還有可能刪掉邊$(u,v)$，這沒有任何影響。

 

12的證明

假設存在$p=<v_{0},v_{1},...,v_{k}>$，其中$s=v_{0},t=v_{k}.$由於$p$經過每個節點最多一次，那麼有$k<|V|$。由於$h(t)=0$,而對於任意一條邊$(v_{i},v_{i+1})$,$v_{i}$的高度最多比$v_{i+1}$的高度達1，，所以$h(s)\leq k<|V|$，這與$h(s)=|V|$矛盾

 

13的證明

（1）首先，在演算法的整個過程中，$f$都是一個預流。初始時是，演算法每個迴圈中，重貼標籤不影響$f$，推送操作結束後$f$也仍然是一個預流；

（2）如果演算法能夠終止，那麼終止時，沒有節點需要推送操作和重貼標籤操作，由9可知，沒有溢出節點存在，所以$f$是一個流。由12可知，沒有增廣路徑存在，所以由最大流最小割定理，$f$是最大流

 

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