最大公約數 最小公倍數

求解最大公約數和最小公倍數。

有兩大種方法：求解最大公約數有歐幾裡德演算法和stein演算法。其中歐幾裡德演算法又分為一般的和擴充的歐幾裡德演算法。

而求解兩數的最小公倍數則利用了它們的最大公約數，有公式lcm(a,b)=a*b/gcd(a,b)。lcm是最小公倍數的英文縮寫，gcd同樣。

所以求解最小公倍數的代碼只在一般歐幾裡德演算法分析中介紹下，讀者可以舉一反三。

 

一、歐幾裡德演算法

1、一般歐幾裡德演算法（只求最大公約數）

求最大公約數一個經典的方法就是輾轉相除法了。以下將要介紹的代碼也是利用其求解的。

其中，求解最大公約數用了遞迴和非遞迴兩種方法，代碼中有注釋。  

 

代碼如下：

#include<iostream>using namespace std;int gcd(int a,int b)  //a,b最大公約數，遞迴 {if(b==0)return a;else    return gcd(b,a%b);}int GCD(int a,int b)   //a,b最大公約數，非遞迴 {    int tem;        if(a<b)    {       tem=a;       a=b;       b=tem;    }        int rem=1;    while(rem!=0)    {        rem=a%b;        a=b;        b=rem;    }        return a;} int lcm(int a,int b)  //最小公倍數 {    return a*b/gcd(a,b);}int main(){    int a,b,lc,gc1,gc2;        cout<<"輸入:";     while(cin>>a>>b)    {       gc1=gcd(a,b);       gc2=GCD(a,b);       lc=lcm(a,b);              cout<<"最大公約數:"<<gc1<<endl;       cout<<"最大公約數:"<<gc2<<endl;       cout<<"最小公倍數:"<<lc<<endl;       cout<<endl;       cout<<"輸入:";     }        return 0;} 

         測試結果：

 再來囉嗦兩句。求解最大公約數的非遞迴方法應該說很好理解，完全的輾轉相除法。而遞迴方法則由於沒有判斷a,b的大小關係，很容易讓人迷惑。

 比如，輸入28   1274時，會有人覺得不能求解。其實，輸入28   1274和輸入1274   28是基本一樣的。解釋如下：輸入28   1274，調用gcd(28,1274)，

 b=1274，b!=0，所以執行return  gcd(b,a%b)也即return  gcd(1274,28)。因為28%1274=28！到此，已經和直接輸入1274   28一樣了。

2、擴充歐幾裡德演算法（不僅僅可求出最大公約數，還可解出方程ax+by=gcd(a,b)中的x和y）

其詳細描述及證明，請參考：點擊開啟連結

 

演算法代碼：

int extendGcd(int a,int b,int &x,int &y)   //擴充gcd，可以求出gcd(a,b)以及ax+by=gcd(a,b)中x,y的值{if(b==0){x=1;y=0;return a;}else{int a1=extendGcd(b,a%b,x,y);int tmp=x;x=y;y=tmp-a/b*y;return a1;}}

 

二、Stein演算法

Stein演算法與歐幾裡德演算法的不同是：Stein演算法只有整數的移位與加減法，不需要進行除法和模數運算。

 

演算法描述：

（1）判斷a或b是否為0，若a=0，則b就是最小公倍數；若b=0，則a就是最小公倍數。演算法結束。

（2）設a1=a，b1=b，c1=1。

（3）判斷an、bn是否為偶數

①若都是偶數，則令a(n+1)=an/2，b(n+1)=bn/2，c(n+1)=2*cn。

②若an是偶數，則令a(n+1)=an/2，b(n+1)=bn，c(n+1)=cn。

③若bn是偶數，則令a(n+1)=an，b(n+1)=bn/2，c(n+1)=cn。

④若an、bn都是奇數，則令a(n+1)=|an-bn|，b(n+1)=min(an,bn)，c(n+1)=cn。

（4）n累加1，跳轉到（3）進行下一輪計算。

 

演算法代碼如下：

方法一：

int gcd(int a,int b){int min=(a>b)?b:a;int max=(a>b)?a:b;if(min==0)return max;if(max%2==0 && min%2==0)return 2*gcd(max/2,min/2);if(max%2==0)return gcd(max/2,min);if(min%2==0)return gcd(max,min/2);return gcd((max+min)/2,(max-min)/2);  //都是奇數，貌似和演算法給出的不太一樣，我測試了幾組資料都是對的。。。}

方法二：

int gcd(int a,int b){int min=(a>b)?b:a;int max=(a>b)?a:b;if(!min)return max;if(!max)return min;if(!(min&1) && !(max&1))  //都是偶數return gcd(min>>1,max>>1)<<1;if(!(min&1))      //小數為偶return gcd(min>>1,max);if(!(max&1))      //大數為偶return gcd(min,max>>1);//return gcd((max-min)>>1,min);  //都是奇數，不知道為啥這個也行？？？    return gcd(max-min,min);  //都是奇數}